组合数学 (Fall 2016)/Problem Set 2

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Problem 1

你要设计一个标志,以下形状中的12条线段可以分别又红、绿、蓝三色之一构成。要求考虑这个形状的“转动”和“反转”两种对称。

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  • 定义这个对称构成的群,可以通过生成元定义,也可以直接把元素都写出来;
  • 写出cycle index;
  • 如果要求三种颜色出现的次数一样多,写出这时的pattern inventory;
  • 如果有四种颜色红、绿、蓝、黄,并要求四种颜色出现的次数一样多,写出这时的pattern inventory;

整个过程中可以借助一些数学软件如Mathematica的帮助。

Problem 2

考虑颗、共种宝石构成的项链。假设整除,我们考虑所有整数倍步数的转动。对于一个pattern ,令为在该对称下、具有这一pattern(第种宝石恰好个,)的项链种类。

设计一个算法。输入一组以及一个pattern ,输出

给出你算法使用的permutation group的数学上的定义与构造。给出算法的源代码(鼓励使用Mathematica或者Matlab软件的语言和函数,否则请使用C/C++/Java/Python等通用高级编程语言或脚本语言),并为每一段源代码给出功能上的注释和数学上的严格定义。

选择至少两组输入的,给出算法输出的值和算法自动生成的pattern inventory。注意输入规模的选择不能小到手动运算都能计算出答案。