概率论与数理统计 (Spring 2023)/Entropy and volume of Hamming balls

在求解抛掷公平硬币（fair coin）的尾概率时，我们经常会需要分析如下二项式系数求和：

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^r{n\choose k} }[/math]，对于某个[math]\displaystyle{ 1\le r\le n }[/math]

这其实等价与求一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 维汉明空间中半径为 [math]\displaystyle{ r }[/math] 的球的体积。

[math]\displaystyle{ n }[/math] 维汉明空间（[math]\displaystyle{ n }[/math]-dimensional Hamming space）是如下的度量空间 [math]\displaystyle{ \left(M,d\right) }[/math]：该度量空间点集为 [math]\displaystyle{ M=\{0,1\}^n }[/math]；距离 [math]\displaystyle{ d(\cdot,\cdot) }[/math] 为该点集上的汉明距离 (Hamming distance)，即——对于任意 [math]\displaystyle{ x,y\in\{0,1\}^n }[/math]，[math]\displaystyle{ d(x,y)=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i| }[/math]。 以某点 [math]\displaystyle{ o\in\{0,1\}^n }[/math] 圆心、半径为 [math]\displaystyle{ r }[/math] 的汉明球体 (Hamming ball) 为如下的点集： [math]\displaystyle{ B_r(o)=\left\{x\in \{0,1\}^n\mid d(x,o)\le r\right\} }[/math] 容易验证，对于任何圆心 [math]\displaystyle{ o\in\{0,1\}^n }[/math]，半径为 [math]\displaystyle{ r }[/math] 的汉明球体的体积，均为： [math]\displaystyle{ |B_r(o)|=\sum_{k\le r}{n\choose k} }[/math]

这一对二项式系数的求和式相当常见。然而不幸地，除对于极少数特殊的 [math]\displaystyle{ r }[/math] 取值之外，我们对于这一求和式并没有通用的闭合形式解。但有如下的上界总是成立。

Lemma

对于任何 [math]\displaystyle{ p\in\left[0,\frac{1}{2}\right] }[/math]，有： [math]\displaystyle{ \sum_{k\le pn}{n\choose k}\le 2^{n\cdot h(p)} }[/math] 这里 [math]\displaystyle{ h(p) }[/math] 为二进制信息熵函数 (binary entropy function)，定义如下： [math]\displaystyle{ h(p)=p\log_2\frac{1}{p}+(1-p)\log_2\frac{1}{1-p} }[/math]

对此上界，有一个比较初等的计算证明。

Proof. [math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{k\le pn}{n\choose k}/2^{n\cdot h(p)} &= \sum_{k\le pn}{n\choose k}p^{pn}(1-p)^{(1-p)n}\\ &= \sum_{k\le pn}{n\choose k}(1-p)^n\left(\frac{p}{1-p}\right)^{pn}\\ &\le \sum_{k\le pn}{n\choose k}(1-p)^n\left(\frac{p}{1-p}\right)^{k} &&(\text{因为 } p\le 1/2\le 1-p \text{ 以及 } k\le pn)\\ &= \sum_{k\le pn}{n\choose k}(1-p)^{n-k}p^k\\ &\le \sum_{k=0}^n{n\choose k}(1-p)^{n-k}p^k\\ &=1 \end{align} }[/math] 最后一个等式是因为这是在对参数为 [math]\displaystyle{ n,p }[/math] 的二项分布的概率质量求和。 [math]\displaystyle{ \square }[/math]