组合数学 (Fall 2011)/Problem set 3

Problem 1

令 [math]\displaystyle{ a_1,a_2,\ldots,a_n }[/math] 为任意长为 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的整数序列。

证明：存在 [math]\displaystyle{ j,k }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ 1\le j\le k\le n }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ \sum_{i=j}^ka_i }[/math] 可被 [math]\displaystyle{ n }[/math] 整除。

Problem 2

Attention：这道题目我上课之前临时改了一下，现在发现改错了，于是又改回去了。请同学们相互转告。

一个无向图 [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math] 的切 (cut) 被某个点集 [math]\displaystyle{ S }[/math]定义，为 [math]\displaystyle{ C(S,\bar{S})=\{uv\in E\mid u\in S, v\not\in S\} }[/math]，即那些一头在 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中另一头在 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的补中的边。求一个图的最大切 (maximum cut) 是 Karp 的21个NP完全问题之一。

证明：任意一个有 [math]\displaystyle{ m }[/math] 条边的无向图都存在一个不小于 [math]\displaystyle{ \frac{m}{2} }[/math] 的切。

Problem 3

令 [math]\displaystyle{ \mathcal{H}\subseteq{[n]\choose k} }[/math] 为一个 [math]\displaystyle{ k }[/math]-uniform [math]\displaystyle{ k }[/math]-regular hypergraph，即 [math]\displaystyle{ \forall i\in[n] }[/math]，刚好有 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个不同的 [math]\displaystyle{ S\in\mathcal{H} }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ i\in S }[/math]。

假设 [math]\displaystyle{ k\ge 10 }[/math]。证明：存在一个对 [math]\displaystyle{ [n] }[/math] 的 2着色 [math]\displaystyle{ f:[n]\rightarrow\{0,1\} }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math] 中不存在单色的集合 [math]\displaystyle{ S\in\mathcal{H} }[/math]。