组合数学 (Fall 2011)/Problem set 4

Problem 1

一个图[math]\displaystyle{ G }[/math] 的 independence number [math]\displaystyle{ \alpha(G) }[/math] 为 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中最大的独立集 (independent set) 的大小。证明Turán定理的对偶（dual）版本：

定理

如果图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个结点，[math]\displaystyle{ \frac{nk}{2} }[/math] 条边，[math]\displaystyle{ k\ge 1 }[/math]，则 [math]\displaystyle{ \alpha(G)\ge\frac{n}{k+1} }[/math]。

Problem 2

[math]\displaystyle{ H(W,F)\, }[/math] 为一个图，[math]\displaystyle{ n\gt |W|\, }[/math] 为一个整数。已知存在一个图 [math]\displaystyle{ G(V,E)\, }[/math] 有 [math]\displaystyle{ |V|=n, |E|=m\, }[/math] 且不包含 [math]\displaystyle{ H\, }[/math] 子图。

证明：对于 [math]\displaystyle{ k\gt \frac{n^2\ln n}{m} }[/math]，存在一个对 [math]\displaystyle{ K_n\, }[/math]（[math]\displaystyle{ n }[/math]结点完全图）的边的 [math]\displaystyle{ k }[/math] 着色，没有单色（monocharomatic）的[math]\displaystyle{ H\, }[/math]。

注：令 [math]\displaystyle{ K_n }[/math] 的边集为 [math]\displaystyle{ E={V\choose 2} }[/math]，“对 [math]\displaystyle{ K_n }[/math] 的边的 [math]\displaystyle{ k }[/math] 着色"，就是一个映射 [math]\displaystyle{ f: E\rightarrow [k] }[/math]。 即，每个边选择 [math]\displaystyle{ k }[/math] 种颜色之一进行着色，可以任意着色，无需考虑相邻的边是否同色。

Problem 3

我们称一个竞赛图 [math]\displaystyle{ T([n],E) }[/math] 是传递(transitive)的，如果存在一个 [math]\displaystyle{ [n] }[/math] 的全排列 [math]\displaystyle{ \pi }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ (i,j)\in E }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \pi_i\lt \pi_j }[/math]，即该竞赛图 [math]\displaystyle{ T([n],E) }[/math] 的边的方向符合传递性。

证明：对任何 [math]\displaystyle{ k\ge 3 }[/math]，存在 [math]\displaystyle{ N(k) }[/math]，对任何的 [math]\displaystyle{ n\ge N(k) }[/math] 个点的竞赛图，都存在一个 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个点的子竞赛图满足传递性。