组合数学 (Fall 2011)/Pólya's theory of counting and 组合数学 (Fall 2011)/Problem set 3: Difference between pages
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一个图 <math>G(V,E)</math> 的切 (cut) 是一个边集 <math>C\subseteq E</math>，使得去掉这些边之后 <math>G</math> 不再连通。 | |||
== | 证明：任意一个有 <math>m</math> 条边的无向图都存在一个大小为 <math>\frac{m}{2}</math> 的切。 | ||
==Problem 3 == | |||
令 <math>\mathcal{F}\subseteq{[n]\choose k}</math> 为一个 <math>k</math>-regular family，即 <math>\forall i\in[n]</math>，刚好有 <math>k</math> 个不同的 <math>S\in\mathcal{F}</math> 满足 <math>i\in S</math>。 | |||
假设 <math>k\ge 10</math>。证明：存在一个对 <math>[n]</math> 的 2着色 <math>f:[n]\rightarrow\{0,1\}</math> 使得 <math>\mathcal{F}</math> 中不存在单色的集合 <math>S\in\mathcal{F}</math>。 | |||
Revision as of 17:50, 26 October 2011
Problem 1
Problem 2
一个图 [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math] 的切 (cut) 是一个边集 [math]\displaystyle{ C\subseteq E }[/math]，使得去掉这些边之后 [math]\displaystyle{ G }[/math] 不再连通。
证明：任意一个有 [math]\displaystyle{ m }[/math] 条边的无向图都存在一个大小为 [math]\displaystyle{ \frac{m}{2} }[/math] 的切。
Problem 3
令 [math]\displaystyle{ \mathcal{F}\subseteq{[n]\choose k} }[/math] 为一个 [math]\displaystyle{ k }[/math]-regular family，即 [math]\displaystyle{ \forall i\in[n] }[/math]，刚好有 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个不同的 [math]\displaystyle{ S\in\mathcal{F} }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ i\in S }[/math]。
假设 [math]\displaystyle{ k\ge 10 }[/math]。证明：存在一个对 [math]\displaystyle{ [n] }[/math] 的 2着色 [math]\displaystyle{ f:[n]\rightarrow\{0,1\} }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ \mathcal{F} }[/math] 中不存在单色的集合 [math]\displaystyle{ S\in\mathcal{F} }[/math]。