Combinatorics (Fall 2010)/Problem set 1

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  • 每道题目的解答都要求有过程。
  • 如发现雷同,雷同的双方都将直接在该门课程的最终成绩中不及格。

Problem 0

你的姓名,学号。

Problem 1

我们有[math]\displaystyle{ k }[/math]种不同的明信片,其中第[math]\displaystyle{ i }[/math]种明信片有[math]\displaystyle{ m_i }[/math]张。请问总共有多少种方法把所有这些明信片发给[math]\displaystyle{ n }[/math]个人。(注意每个人可以收多张明信片)。

Problem 2

[math]\displaystyle{ f_k(n) }[/math]没有长为[math]\displaystyle{ k }[/math]的圈(cycle)的[math]\displaystyle{ [n] }[/math]的排列(permutation)的数量。

  1. [math]\displaystyle{ f_k(n) }[/math]。(可以不是闭合形式)
  2. [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_k(n)}{n!} }[/math]。(闭合形式)

(提示:用筛法。)

Problem 3

[math]\displaystyle{ t_n }[/math]表示长度为[math]\displaystyle{ n }[/math],没有3个连续的1的二进制串的数量,即

[math]\displaystyle{ t_n=|\{x\in\{0,1\}^n\mid \forall 1\le i\le n-2, x_ix_{i+1}x_{i+2}\neq 111\}| }[/math]
  1. 给出计算[math]\displaystyle{ t_n }[/math]的递归式,并给出足够的初始值。
  2. 计算[math]\displaystyle{ t_n }[/math]的生成函数[math]\displaystyle{ T(x)=\sum_{n\ge 0}t_n x^n }[/math],给出[math]\displaystyle{ T(x) }[/math]的闭合形式。
  3. 定义[math]\displaystyle{ t_n^* }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{cases} 0 & n=0,n=1\\ 1 & n=2\\ t_{n-3} & n\ge 3. \end{cases} }[/math]
计算[math]\displaystyle{ t_n^* }[/math]的生成函数[math]\displaystyle{ T^*(x)=\sum_{n\ge 0}t_n^* x^n }[/math]的闭合形式。

([math]\displaystyle{ t^*_n }[/math]通常被称为tribonacci number。)