组合数学 (Spring 2013)/Problem Set 3 and 高级算法 (Fall 2018): Difference between pages

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== Problem 1==
{{Infobox
一个<math>k</math>-超图 (<math>k</math>-uniform hypergraph) <math>\mathcal{H}\subset{[n]\choose k}</math> 的 '''blocking set''' 是这样一个集合 <math>T\subseteq[n]</math>，使每一个超边 (hyper-edge) <math>S\in\mathcal{H}</math> 都有 <math>T\cap S\neq\emptyset</math>。
|name        = Infobox
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|title        = <font size=3>高级算法
<br>Advanced Algorithms</font>
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注：当 <math>k=2</math> 的时候，<math>\mathcal{H}</math> 就是一个图，而 blocking set <math>T</math> 就是这个图的顶点覆盖（vertex cover）。因此，blocking set 就是顶点覆盖在超图（hypergraph）上的推广。我们知道最小定点覆盖（minimum vertex cover）问题是 NP-hard 问题，因此求最小 blocking set 也是难的。
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证明：任何 <math>\mathcal{H}\subset{[n]\choose k}</math>, <math>|\mathcal{H}|=m</math>，都存在一个不大于 <math>\left\lceil\frac{n\ln m}{k}\right\rceil</math> 的 blocking set。
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|data11  = Motwani and Raghavan. <br>''Randomized Algorithms''.<br> Cambridge Univ Press, 1995.
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This is the webpage for the ''Advanced Algorithms'' class of fall 2018. Students who take this class should check this page periodically for content updates and new announcements.
 
= Announcement =
* (2018/9/5) 新学期第一次上课。
 
= Course info =
* '''Instructor ''': 尹一通、郑朝栋
:*email: yinyt@nju.edu.cn, chaodong@nju.edu.cn
* '''Class meeting''': Wednesday 8am-10am, 仙I-319.
* '''Office hour''': Wednesday 10am-12pm, 计算机系 804.


== Problem 2==
= Syllabus =
一个图 <math>G(V,E)</math> 的'''支配集''' (dominating set) 是一个顶点集合 <math>D\subseteq V</math>，使得每个顶点 <math>v\in V</math> 要么属于 <math>D</math> 要么有邻居属于 <math>D</math>。最小支配集 (minimum dominating set) 是 NP-hard问题。


证明：任何一个 <math>n</math> 个顶点的 <math>d</math>-regular 图（每个顶点恰好有 <math>d</math> 个邻居），必然存在一个不大于 <math>\frac{n(1+\ln(d+1))}{d+1}</math> 的支配集。
=== 先修课程 Prerequisites ===
* 必须：离散数学，概率论，线性代数。
* 推荐：算法设计与分析。


== Problem 3 ==
=== Course materials ===
<math>H(W,F)\,</math> 为一个图，<math>n>|W|\,</math> 为一个整数。已知存在一个图 <math>G(V,E)\,</math> 有 <math>|V|=n, |E|=m\,</math> 且<font color=red>不包含</font> <math>H\,</math> 子图。
* [[高级算法 (Fall 2018) / Course materials|<font size=3>教材和参考书</font>]]


证明：对于 <math>k>\frac{n^2\ln n}{m}</math>，存在一个对 <math>K_n\,</math>（<math>n</math>结点完全图）的<font color=red>边</font>的 <math>k</math> 着色，没有单色（monocharomatic）的<math>H\,</math>。
=== 成绩 Grades ===
* 课程成绩：本课程将会有若干次作业和一次期末考试。最终成绩将由平时作业成绩和期末考试成绩综合得出。
* 迟交：如果有特殊的理由，无法按时完成作业，请提前联系授课老师，给出正当理由。否则迟交的作业将不被接受。


注：令 <math>K_n</math> 的边集为 <math>E={V\choose 2}</math>，“对 <math>K_n</math> 的边的 <math>k</math> 着色"，就是一个映射 <math>f: E\rightarrow [k]</math>。
=== <font color=red> 学术诚信 Academic Integrity </font>===
即，每个边选择 <math>k</math> 种颜色之一进行着色，可以任意着色，无需考虑相邻的边是否同色。
学术诚信是所有从事学术活动的学生和学者最基本的职业道德底线，本课程将不遗余力的维护学术诚信规范，违反这一底线的行为将不会被容忍。


== Problem 4 ==
作业完成的原则：署你名字的工作必须由你完成。允许讨论，但作业必须独立完成，并在作业中列出所有参与讨论的人。不允许其他任何形式的合作——尤其是与已经完成作业的同学“讨论”。
令 <math>\mathcal{H}\subseteq{[n]\choose k}</math> 为一个 <math>k</math>-uniform <math>k</math>-regular hypergraph，即 <math>\forall i\in[n]</math>，刚好有 <math>k</math> 个不同的 <math>S\in\mathcal{H}</math> 满足 <math>i\in S</math>。


假设 <math>k\ge 10</math>。证明：存在一个对 <math>[n]</math> 的 2着色 <math>f:[n]\rightarrow\{0,1\}</math> 使得 <math>\mathcal{H}</math> 中不存在单色的集合 <math>S\in\mathcal{H}</math>。
本课程将对剽窃行为采取零容忍的态度。在完成作业过程中，对他人工作（出版物、互联网资料、其他人的作业等）直接的文本抄袭和对关键思想、关键元素的抄袭，按照 [http://www.acm.org/publications/policies/plagiarism_policy ACM Policy on Plagiarism]的解释，都将视为剽窃。剽窃者成绩将被取消。如果发现互相抄袭行为，<font color=red> 抄袭和被抄袭双方的成绩都将被取消</font>。因此请主动防止自己的作业被他人抄袭。


== Problem 5 ==
学术诚信影响学生个人的品行，也关乎整个教育系统的正常运转。为了一点分数而做出学术不端的行为，不仅使自己沦为一个欺骗者，也使他人的诚实努力失去意义。让我们一起努力维护一个诚信的环境。
一个图<math>G</math> 的 independence number <math>\alpha(G)</math> 为 <math>G</math> 中最大的独立集 (independent set) 的大小。证明Turán定理的对偶（dual）版本：
 
{{Theorem|定理|
= Assignments =
:如果图 <math>G</math> 有 <math>n</math> 个结点，<math>\frac{nk}{2}</math> 条边，<math>k\ge 1</math>，则 <math>\alpha(G)\ge\frac{n}{k+1}</math>。
* TBA
}}


要求至少给出两个版本的证明：
= Lecture Notes =
#用概率法证明。
# [[高级算法 (Fall 2018)/Min-Cut and Max-Cut|Min-Cut and Max-Cut]]
#用Turán定理直接证明。
#:  [[高级算法 (Fall 2018)/Probability Basics|Probability basics]]

Revision as of 14:15, 4 September 2018

高级算法
Advanced Algorithms
Instructor
尹一通
郑朝栋
Email yinyt@nju.edu.cn chaodong@nju.edu.cn
office 计算机系 804
Class
Class meetings Wednesday, 8am-10am
仙I-319
Office hours Wednesday, 10am-12pm
计算机系 804（尹一通）、302（郑朝栋）
Textbooks
Motwani and Raghavan.
Randomized Algorithms.
Cambridge Univ Press, 1995.
Vazirani.
Approximation Algorithms.
Springer-Verlag, 2001.
v · d · e

This is the webpage for the Advanced Algorithms class of fall 2018. Students who take this class should check this page periodically for content updates and new announcements.

Announcement

  • (2018/9/5) 新学期第一次上课。

Course info

  • Instructor : 尹一通、郑朝栋
  • email: yinyt@nju.edu.cn, chaodong@nju.edu.cn
  • Class meeting: Wednesday 8am-10am, 仙I-319.
  • Office hour: Wednesday 10am-12pm, 计算机系 804.

Syllabus

先修课程 Prerequisites

  • 必须：离散数学，概率论，线性代数。
  • 推荐：算法设计与分析。

Course materials

成绩 Grades

  • 课程成绩：本课程将会有若干次作业和一次期末考试。最终成绩将由平时作业成绩和期末考试成绩综合得出。
  • 迟交：如果有特殊的理由，无法按时完成作业，请提前联系授课老师，给出正当理由。否则迟交的作业将不被接受。

学术诚信 Academic Integrity

学术诚信是所有从事学术活动的学生和学者最基本的职业道德底线，本课程将不遗余力的维护学术诚信规范，违反这一底线的行为将不会被容忍。

作业完成的原则：署你名字的工作必须由你完成。允许讨论，但作业必须独立完成，并在作业中列出所有参与讨论的人。不允许其他任何形式的合作——尤其是与已经完成作业的同学“讨论”。

本课程将对剽窃行为采取零容忍的态度。在完成作业过程中，对他人工作（出版物、互联网资料、其他人的作业等）直接的文本抄袭和对关键思想、关键元素的抄袭，按照 ACM Policy on Plagiarism的解释，都将视为剽窃。剽窃者成绩将被取消。如果发现互相抄袭行为， 抄袭和被抄袭双方的成绩都将被取消。因此请主动防止自己的作业被他人抄袭。

学术诚信影响学生个人的品行，也关乎整个教育系统的正常运转。为了一点分数而做出学术不端的行为，不仅使自己沦为一个欺骗者，也使他人的诚实努力失去意义。让我们一起努力维护一个诚信的环境。

Assignments

  • TBA

Lecture Notes

  1. Min-Cut and Max-Cut
    Probability basics
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