View source for 概率论与数理统计 (Spring 2023)/Average-case analysis of QuickSort

[http://en.wikipedia.org/wiki/Quicksort '''快速排序'''（'''Quicksort'''）]是由Tony Hoare发现的排序算法。该算法的伪代码描述如下（为方便起见，假设数组元素互不相同——更一般情况的分析易推广得到）：
  '''''QSort'''''(A): 输入A[1...n]是存有n个不同数字的数组
  if n>1 then
       '''pivot''' = A[1];
       将A中<pivot的元素存于数组L，将A中>pivot的元素存于数组R; \\保持内部元素之间相对顺序
       递归调用'''''QSort'''''(L)和'''''QSort'''''(R);

该伪代码描述省略了对数组的存取归并等具体实现的交代。可以不妨认为算法中的<math>L</math>和<math>R</math>其实就分别是原数组<math>A</math>的前半部分<math>A[1...i-1]</math>和后半部分<math>A[i...n]</math>，其中<math>i</math>表示'''pivot'''（“'''基准'''”、“'''轴点'''”、“'''分水岭'''”元素）在数组<math>A</math>中的序数，即'''pivot'''是数组<math>A</math>中第<math>i</math>小的数。

作为基于比较的（comparison-based）排序算法，我们将算法进行的元素间的'''比较次数'''作为算法的复杂性度量。在'''最坏情况'''（'''worst-case'''）输入下，我们描述的“快速排序”算法所使用的比较次数可以达到<math>\Theta(n^2)</math>。而且有趣的是，这一<math>\Omega(n^2)</math>的复杂度下界是在输入数组是一个已排好序的数组时达到的：此时'''pivot'''会将数组<math>A</math>划分为大小极不平衡的子数组<math>L</math>和<math>R</math>，递归树也因此极不平衡，而算法使用的比较次数可因此达到<math>(n-1)+(n-2)+(n-3)+\cdots+1=\Omega(n^2)</math>。

现在我们来分析这一算法的'''平均情况'''（'''average-case'''）复杂度。
令输入数组<math>A</math>为<math>n</math>个元素的均匀分布的随机排列。如下性质不难递归验证：
{{Theorem|性质一（输入分布的递归不变性）|
* 作为基于比较的排序算法，快速排序算法的行为仅与输入数组<math>A</math>中元素的相对顺序有关，而与<math>A</math>中元素的具体数值无关。
* 进一步地，在算法的每次递归调用中，其输入数组中元素的相对顺序，符合该数量元素的所有排列上的均匀分布。
}}

= 快速排序算法的平均复杂度分析 I（基于全期望法则）=
令随机变量<math>X_n</math>表示在随机输入<math>A</math>下，快速排序算法使用的总比较次数。同时令<math>t(n)=\mathbb{E}[X_n]</math>表示其期望。正如刚刚解释的，<math>t(n)</math>是良定义的，因为期望值<math>\mathbb{E}[X_n]</math>仅与<math>n</math>有关。

对<math>1\le i\le n</math>，定义<math>B_i</math>为如下事件：
:*'''pivot'''在数组<math>A</math>中是第<math>i</math>小的元素。
则<math>B_1,B_2,\ldots,B_n</math>构成了对所有情况（样本空间）的一个划分。且每个事件<math>B_i</math>发生的概率有：
:<math>\Pr(B_i)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}</math>.
这是因为事件<math>B_i</math>等价于一个均匀分布的随机排列<math>\pi:[n]\xrightarrow[\text{onto}]{\text{1-1}}[n]</math>有<math>\pi(1)=i</math>，而这件事的概率为<math>\frac{1}{n}</math>。

因此，根据'''全期望法则'''（'''law of total expectation'''），有：
:<math>
\begin{align}
t(n)
=
\mathbb{E}[X_n]
&=
\sum_{i=1}^n\mathbb{E}[X_n\mid B_i]\Pr(B_i)
=
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}[X_n\mid B_i]
\end{align}
</math>.
而当事件<math>B_i</math>发生时，即当'''pivot'''恰为数组<math>A</math>中第<math>i</math>小的元素，
算法会将<math>A</math>中比'''pivot'''小的<math>(i-1)</math>个元素放入子数组<math>L</math>、将比'''pivot'''大的<math>(n-i)</math>个元素放入子数组<math>R</math>，这总共会花费<math>n-1</math>次比较。
而且，根据'''性质一'''中所述的输入分布的递归不变性，递归调用'''''QSort'''''<math>(L)</math>和'''''QSort'''''<math>(R)</math>各自所使用的总比较次数分别为<math>X_{i-1}</math>和<math>X_{n-i}</math>。
综上所述，有如下恒等关系：
:<math>
\mathbb{E}[X_n\mid B_i]
=
\mathbb{E}[n-1+X_{i-1}+X_{n-i}]
</math>.
因此，上述全期望因此可被计算如下：
:<math>
\begin{align}
t(n)
=
\mathbb{E}[X_n]
&=
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}[X_n\mid B_i]\\
&=
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}[n-1+X_{i-1}+X_{n-i}]\\
&=
n-1+\frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\mathbb{E}[X_{i}] &\text{(根据期望的线性)}\\
&=
n-1+\frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}t(i).
\end{align}
</math>
我们因此建立了平均复杂度<math>t(n)=\mathbb{E}[X_n]</math>的如下递归式：
:<math>
\begin{align}
t(n)
&= 
n-1+\frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}t(i)
&& 
\text{if }n>1;\\
t(n)
&=
0
&&
\text{if }0\le n\le 1.
\end{align}
</math>
我们有若干种方法从这一递归式获得关于<math>t(n)=\mathbb{E}[X_n]</math>的真相：
* 一种是使用'''生成函数'''等工具来求解这样的递归方程，例如使用[[组合数学_(Fall_2023)/Generating_functions#Analysis_of_Quicksort|'''本学期组合数学课上的分析''']]，最终可精确解出<math>t(n)=2(n+1)H(n)-4n</math>，此处<math>H(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}= \ln n+O(1)</math>为第<math>n</math>个[https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number 调和数]；
* 另一种是采用'''数学归纳法'''来对我们猜想的关于<math>t(n)</math>的界进行验证，例如从<math>t(n)\le c n \ln n</math>的归纳假设出发，尝试使<math>c</math>尽量小。令该归纳假设对于所有<math>0\le i<n</math>都成立，则对于<math>t(n)</math>，根据递归式因此有：
:<math>
\begin{align}
t(n)
&= 
n-1+\frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}t(i)\\
&\le 
n-1+\frac{2c}{n}\sum_{i=1}^{n-1}i \ln i &&\text{(归纳假设)}\\
&\le 
n-1+\frac{2c}{n}\int_{1}^nx \ln x\,\mathrm{d}x &&\text{(求和的积分上界)}\\
&=
n-1+\frac{c}{2n}\left(2n^2\ln n-n^2+1\right)\\
&=
cn\ln n-\left(\frac{c}{2}-1\right)n-1+\frac{c}{2n}
\end{align}
</math>
设<math>c=2</math>时，有<math>t(n)\le cn\ln n-\left(\frac{c}{2}-1\right)n-1+\frac{c}{2n}\le 2 n \ln n</math>对于所有<math>n\ge 1</math>总是成立。

= 快速排序算法的平均复杂度分析 II（基于期望的线性）=
令随机变量<math>X</math>表示在随机输入<math>A</math>下，快速排序算法使用的总比较次数。我们希望分析得到期望<math>\mathbb{E}[X]</math>的上界。

假设输入数组<math>A</math>中的元素，在从小到大排序之后为<math>a_1<a_2<\cdots a_n</math>。
对<math>1\le i<j\le n</math>，令布尔值随机变量<math>I_{ij}=I(A_{ij})\in\{0,1\}</math>指示如下事件的发生：
* <math>A_{ij}</math>：元素<math>a_i</math>和<math>a_j</math>在算法运行过程中被比较了。

容易验证：在算法运行过程中，任何元素对<math>a_i</math>和<math>a_j</math>之间至多只会进行一次比较。
因此总比较次数<math>X</math>可被计算如下：
:<math>X=\sum_{i<j}I_{ij}</math>.
根据'''期望的线性'''（'''linearity of expectation'''）：
:<math>\mathbb{E}[X]=\sum_{i<j}\mathbb{E}[I_{ij}]=\sum_{i<j}\Pr(A_{ij})</math>.

因此接下来，仅需要针对每一对具体的<math>1\le i<j\le n</math>，计算概率：
:<math>\Pr(A_{ij})=\Pr(a_i\text{和}a_j\text{在算法中进行了比较})</math>.
而事件<math>A_{ij}</math>发生，当且仅当：在'''某次'''递归调用中，<math>a_i</math>与<math>a_j</math>同属于当前输入数组，且'''pivot'''恰好选中<math>a_i</math>或<math>a_j</math>二者之一。
注意到：假如<math>a_i</math>与<math>a_j</math>同属于当前输入数组，则当前数组必然也同时包含它们之间的所有元素<math>\{a_k\mid i<k<j\}</math>；
同时，事件<math>A_{ij}</math>的发生与否，仅当'''首次'''在某递归调用中'''pivot'''选中了<math>\{a_k\mid i\le k\le j\}</math>中的元素，才会确定。
综上，于是有：
:<math>\Pr(A_{ij})=\Pr(\mathsf{pivot}\in\{a_i,a_j\}\mid\mathsf{pivot}\in\{a_i,a_{i+1},\ldots,a_{j}\})=\frac{2}{j-i+1}</math>.

{|border="1"
|如果你认为该证明不够详细。这里再提供一个对于上述事实的详细证明。

定下任意一对具体的<math>1\le i<j\le n</math>。
在算法运行之初（顶层递归调用），元素<math>a_i</math>与<math>a_j</math>显然有<math>a_i<a_j</math>，且同属于当前递归调用的输入数组<math>A</math>。

事件<math>A_{ij}</math>的发生与否，由如下的递归随机过程确定：
# 在当前输入元素中按均匀分布随机选择'''pivot'''元素。如果刚好选中<math>a_i</math>或<math>a_j</math>二者之一，那么<math>a_i</math>与<math>a_j</math>之间必被比较（因为'''pivot'''会与当前数组内的所有元素进行比较）。此情况下，事件<math>A_{ij}</math>确定发生。
# 如果<math>a_i<</math>'''pivot'''<math><a_j</math>，即'''pivot'''取值在<math>a_i</math>与<math>a_j</math>之间，此时<math>a_i</math>与<math>a_j</math>会被大小居于其中间的'''pivot'''元素分别分流到子数组<math>L</math>与<math>R</math>中，且在之后的递归调用中永不再见，因此不会被比较。此情况下，事件<math>A_{ij}</math>确定不发生。
# 如果'''pivot'''选中了比<math>a_i</math>更小或者比<math>a_j</math>更大的元素，在此情况下<math>a_i</math>与<math>a_j</math>，连同它们之间的所有元素<math>\{a_k\mid i<k<j\}</math>，都会被分到同一个子数组<math>L</math>（假如'''pivot'''<math>>a_j</math>）或者<math>R</math>（假如'''pivot'''<math><a_i</math>）中。而此时<math>A_{ij}</math>的发生与否尚未能在这一层递归调用中确定，则需进入下一层递归调用，将当前输入数组改为<math>a_i</math>与<math>a_j</math>所同属的那个子数组（即<math>L</math>如果'''pivot'''<math>>a_j</math>，<math>R</math>如果'''pivot'''<math><a_i</math>），然后回到（1）重复。
不难看出该递归过程跟踪模拟了事件<math>A_{ij}</math>的发生与否，在快速排序算法的递归调用过程中，是如何被确定下来的。

因此，可以得出：<math>A_{ij}</math>发生，当且仅当在上述情况（1）或（2）之一发生的前提下有（1）发生。

除此之外，如下两个观察通过递归验证易得：
* 当<math>a_i</math>与<math>a_j</math>同属于当前递归调用的输入数组时，它们之间的所有元素<math>\{a_k\mid i<k<j\}</math>也属于该数组；
* 在任何递归调用中，'''pivot'''始终在当前输入数组中均匀分布——这也可由'''性质一'''所述的输入分布的递归不变性得到。
综上可得：
:<math>\Pr(A_{ij})=\Pr(\mathsf{pivot}\in\{a_i,a_j\}\mid\mathsf{pivot}\in\{a_i,a_{i+1},\ldots,a_{j}\})=\frac{2}{j-i+1}</math>.
|}

算法总比较次数的期望<math>\mathbb{E}[X]</math>可被计算如下：
:<math>\begin{align}
\mathbb{E}\left[X\right] 
&= 
\sum_{i<j}\Pr(A_{ij})\\
&=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\frac{2}{j-i+1}\\
&= \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k=2}^{n-i+1}\frac{2}{k} & & (\text{令 }k=j-i+1)\\
&\le \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{k}\\
&= 2n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\\
&= 2n H(n).
\end{align}</math>
此处<math>H(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}= \ln n+O(1)</math>为第<math>n</math>个[http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number 调和数]。

如果更加仔细一些，我们甚至可以计算出总比较次数期望<math>\mathbb{E}[X]</math>的精确值：
:<math>\begin{align}
\mathbb{E}\left[X\right] 
&= 
\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k=2}^{n-i+1}\frac{2}{k}\\
&=
\sum_{j=2}^n\sum_{k=2}^{j}\frac{2}{k} && \text{(令$j=n-i+1$)}\\
&=
\sum_{k=2}^{n}\frac{2(n-k+1)}{k} && \text{(交换求和顺序)}\\
&=
\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{2(n+1)}{k}-2\right)\\
&=
2(n+1)\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k}-2(n-1)\\
&=
2(n+1)\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-4n\\
&=
2(n+1)H(n)-4n.
\end{align}</math>