概率论与数理统计 (Spring 2023)/Weierstrass Approximation Theorem

魏尔施特拉斯逼近定理（Weierstrass approximation theorem）陈述了这样一个事实：闭区间上的连续函数总可以用多项式一致逼近。

魏尔施特拉斯逼近定理

设 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math] 为定义在实数区间 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] 上的连续实值函数。对每个 [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]，存在一个多项式 [math]\displaystyle{ p }[/math] 使得对于 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] 中所有 [math]\displaystyle{ x }[/math]，均有 [math]\displaystyle{ |p(x)-f(x)|\le \epsilon }[/math]，即 [math]\displaystyle{ \sup_{x\in[a,b]}\|f(x)-p(x)\|\le \epsilon }[/math]

Proof. 不失一般性地，可以仅考虑区间[math]\displaystyle{ [a,b]=[0,1] }[/math]。因为对于定义在一般的实数区间[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]上的任意函数[math]\displaystyle{ f }[/math]，可通过变量变换[math]\displaystyle{ t\mapsto a+(b-a)t }[/math]将其转化为定义在[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]上的新函数[math]\displaystyle{ g(t)=f(a+(b-a)t) }[/math]，这并不会改变函数的连续性以及是否为多项式。 因此，可假设连续函数[math]\displaystyle{ f:[0,1]\to\mathbb{R} }[/math]。令[math]\displaystyle{ n }[/math]为足够大的正整数，取值待定。 对于任意 [math]\displaystyle{ x\in [0,1] }[/math]，令 [math]\displaystyle{ Y_x\sim\text{Bin}\left(n,x\right) }[/math] 为以[math]\displaystyle{ n,x }[/math]为参数的二项分布随机变量。 将多项式 [math]\displaystyle{ p }[/math] 定义如下。对每个 [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math]，令： [math]\displaystyle{ p(x)=\mathbb{E}\left[f\left(\frac{Y_x}{n}\right)\right]=\sum_{k=0}^nf\left(\frac{k}{n}\right)\Pr(Y_x=k)=\sum_{k=0}^nf\left(\frac{k}{n}\right){n\choose k}x^k(1-x)^{n-k} }[/math]. 容易看出，这是一个关于变量 [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math] 的（[math]\displaystyle{ n }[/math]次）多项式。 根据一致连续性定理(海涅-康托尔定理)，紧空间 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] 上的连续函数 [math]\displaystyle{ f }[/math] 必然也是一致连续的。即，对任意 [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]，总存在 [math]\displaystyle{ \delta_\epsilon\gt 0 }[/math]，使得对于 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] 中任意满足 [math]\displaystyle{ |x-y|\le\delta_\epsilon }[/math] 的 [math]\displaystyle{ x,y }[/math]，都有 [math]\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\le\frac{\epsilon}{2} }[/math]。 不妨定下任意的[math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]，以及一致连续性定理因此保证的 [math]\displaystyle{ \delta_\epsilon\gt 0 }[/math]。 并且定下任意的 [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math]。我们希望验证 [math]\displaystyle{ |p(x)-f(x)|\le\epsilon }[/math]。 根据 [math]\displaystyle{ p }[/math] 的定义，有： [math]\displaystyle{ \begin{align} |p(x)-f(x)| =& \left|\mathbb{E}\left[f\left(\frac{Y_x}{n}\right)\right]-f(x)\right|\\ =& \left|\mathbb{E}\left[f\left(\frac{Y_x}{n}\right)-f(x)\right]\right| && \text{(期望的线性)}\\ \le& \mathbb{E}\left[\left|f\left(\frac{Y_x}{n}\right)-f(x)\right|\right] && \text{(琴生不等式)}\\ =& \mathbb{E}\left[\left|f\left(\frac{Y_x}{n}\right)-f(x)\right|\,\,\bigg{|}\,\, \left|\frac{Y_x}{n}-x\right|\le \delta_\epsilon\right] \cdot \Pr\left[\left|\frac{Y_x}{n}-x\right|\le \delta_\epsilon\right] \\ &+ \mathbb{E}\left[\left|f\left(\frac{Y_x}{n}\right)-f(x)\right|\,\,\bigg{|}\,\, \left|\frac{Y_x}{n}-x\right|\gt \delta_\epsilon\right] \cdot \Pr\left[\left|\frac{Y_x}{n}-x\right|\gt \delta_\epsilon\right] && \text{(全期望法则)}\\ \le& \frac{\epsilon}{2} +2\|f\|_{\infty}\cdot \Pr\left[\left|\frac{Y_x}{n}-x\right|\gt \delta_\epsilon\right] && (\star) \end{align} }[/math] 上述最后一个不等式 [math]\displaystyle{ (\star) }[/math] 成立是因为根据一致连续性，条件 [math]\displaystyle{ \left|\frac{Y_x}{n}-x\right|\le \delta_\epsilon }[/math] 保证了 [math]\displaystyle{ \left|f\left(\frac{Y_x}{n}\right)-f(x)\right|\le\frac{\epsilon}{2} }[/math]，因此 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[\left|f\left(\frac{Y_x}{n}\right)-f(x)\right|\,\,\bigg{|}\,\, \left|\frac{Y_x}{n}-x\right|\le \delta_\epsilon\right]\le\frac{\epsilon}{2} }[/math] 另一方面，有 [math]\displaystyle{ \left|f\left({Y_x}/{n}\right)-f(x)\right|\le \sup_{y\in[0,1]}|f(y)-f(x)|\le 2\sup_{y\in[0,1]}|f(y)| = 2\|f\|_{\infty} }[/math] 无条件成立，因此 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[\left|f\left(\frac{Y_x}{n}\right)-f(x)\right|\,\,\bigg{|}\,\, \left|\frac{Y_x}{n}-x\right|\gt \delta_\epsilon\right]\le 2\|f\|_{\infty} }[/math]. 公式 [math]\displaystyle{ (\star) }[/math] 中的概率可由切比雪夫不等式得出如下上界： [math]\displaystyle{ \begin{align} \Pr\left[\left|\frac{Y_x}{n}-x\right|\gt \delta_\epsilon\right] &= \Pr\left[\left|{Y_x}-\mathbb{E}[Y_x]\right|\gt n\delta_\epsilon\right] && (\mathbb{E}[Y_x]=nx)\\ &\le \frac{\mathbf{Var}[Y_x]}{n^2\delta_\epsilon^2} && \text{(切比雪夫不等式)}\\ &= \frac{nx(1-x)}{n^2\delta_\epsilon^2} && (\mathbf{Var}[Y_x]=nx(1-x))\\ &\le \frac{1}{4n\delta_\epsilon^2}. \end{align} }[/math] 因此可以选择 [math]\displaystyle{ n }[/math] 为任意满足 [math]\displaystyle{ n\ge\frac{\|f\|_{\infty}}{\epsilon\delta_\epsilon^2} }[/math] 的正整数（注意到这一 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的选取是与 [math]\displaystyle{ x }[/math] 无关的，因此可对所有 [math]\displaystyle{ x }[/math] 选取一致的 [math]\displaystyle{ n }[/math]）。如此可保证以上的概率上界为 [math]\displaystyle{ \frac{1}{4n\delta_\epsilon^2}\le\frac{\epsilon}{4\|f\|_{\infty}} }[/math]。 将其代回至 [math]\displaystyle{ (\star) }[/math]式，得到如下结论： [math]\displaystyle{ |p(x)-f(x)|\le \frac{\epsilon}{2}+2\|f\|_{\infty}\cdot \frac{\epsilon}{4\|f\|_{\infty}}\le\epsilon }[/math] [math]\displaystyle{ \square }[/math]