Assignment 2, Fall 2024

请在题目一和题目二中任选一题作为本章的作业题目。另外的一题可作为选做题。

Question 1

在第二章中，我们学习了Budyko的能量平衡气候模型（Simple Energy Balance Climate Model），并用此模型来讨论了存在冰雪线的情况下，气候系统的稳定性问题。冰雪线的南北移动会引起行星反照率及热量的动力输送的变化。我们发现这两种过程的相互作用能够引起气候系统的不稳定。如果使用同样的参数，即[math]\displaystyle{ A=211.1 W/m^{2}\, }[/math], [math]\displaystyle{ B=1.55 W/(m^{2}{^{\circ}\text{C}}) }[/math], [math]\displaystyle{ Q_o=340 W/m^2\, }[/math]， [math]\displaystyle{ T_{\text{snow}}=-10^{\circ}\text{C} }[/math], [math]\displaystyle{ s(x)=1-0.241(3x^2-1)\, }[/math], 并同样假设:

[math]\displaystyle{ \mathcal{A}(T)= \begin{cases} \alpha& T\lt T_{\text{snow}},\\ \beta & T\gt T_{\text{snow}},\\ \dfrac{\alpha+\beta}{2} & T=T_{\text{snow}}. \end{cases} }[/math]

如果行星反照率发生了改变，使得[math]\displaystyle{ \alpha=0.45 }[/math]， 请讨论：

1. 为了保持全球平均温度[math]\displaystyle{ \bar{T} }[/math]不变，对于当前的[math]\displaystyle{ Q }[/math]和冰雪线, [math]\displaystyle{ \beta }[/math]应该取多少？
2. 对于新的 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]和[math]\displaystyle{ \beta }[/math]值，[math]\displaystyle{ C }[/math]的取值应该为多少？
3. 请计算出新的[math]\displaystyle{ Q(x_s) }[/math]。
4. 请与课堂上所讲的[math]\displaystyle{ \alpha=0.4 }[/math], [math]\displaystyle{ \beta=0.7 }[/math]的情况相比较（请将两种情况下[math]\displaystyle{ Q(x_s) }[/math]的曲线画在同一张图上），讨论两种情况的异同，尤其是气候稳定性在[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]和[math]\displaystyle{ \beta }[/math]值改变后发生了何种变化，请讨论为什么会发生这些变化？

Question 2

假设在大气层顶（TOA），在多年全年平均的情况下，入射的太阳辐射随纬度的分布满足

[math]\displaystyle{ \begin{align} Q&=Q_o \cdot s(x), \\ s(x)&=s_o \cdot P_o(x)+ s_2 \cdot P_2(x), \end{align} }[/math]

其中，[math]\displaystyle{ P_o(x)=1 }[/math], [math]\displaystyle{ P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1) }[/math], [math]\displaystyle{ s_o=1 }[/math], [math]\displaystyle{ s_2=-0.473 }[/math], [math]\displaystyle{ x=sin \phi }[/math], [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 为纬度。

如果假设大气层顶的向外净长波辐射为[math]\displaystyle{ I }[/math]，其随纬度的分布满足

[math]\displaystyle{ \begin{align} I&=Q_o \cdot i(x), \\ i(x)&=i_o \cdot P_o(x)+ i_2 \cdot P_2(x), \end{align} }[/math]

其中， [math]\displaystyle{ i_o=0.687 }[/math], [math]\displaystyle{ i_2=-0.165 }[/math]。 假设行星反照率为[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]，且忽略它随纬度和经度的变化:

1. 请写出在能量平衡的情况下，大气和海洋的总经向能量输送应满足什么条件？
2. 按此条件，请利用合适的边界条件，请推导出大气和海洋的总经向能量输送将如何随纬度[math]\displaystyle{ \phi }[/math]和太阳辐射强度[math]\displaystyle{ Q_o }[/math]变化。