Combinatorics (Fall 2010)/Problem set 1

• 每道题目的解答都要求有过程。
• 如发现雷同，雷同的双方都将直接在该门课程的最终成绩中不及格。

Problem 0

你的姓名，学号。

Problem 1

我们有[math]\displaystyle{ k }[/math]种不同的明信片，其中第[math]\displaystyle{ i }[/math]种明信片有[math]\displaystyle{ m_i }[/math]张。请问总共有多少种方法把所有这些明信片发给[math]\displaystyle{ n }[/math]个人。（注意每个人可以收多张明信片或者不收明信片）。

• 大挑战（不计分数）：尝试考虑每个人都至少收到一张明信片的情况。

Problem 2

令[math]\displaystyle{ f_k(n) }[/math]为没有长为[math]\displaystyle{ k }[/math]的圈(cycle)的[math]\displaystyle{ [n] }[/math]的排列(permutation)的数量。

1. 求[math]\displaystyle{ f_k(n) }[/math]。(可以不是闭合形式)
2. 对常数[math]\displaystyle{ k }[/math]，求[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_k(n)}{n!} }[/math]。(闭合形式)

(提示：用筛法。)

注：cycle的概念在离散数学课上已经学到过。令[math]\displaystyle{ \pi }[/math]为[math]\displaystyle{ [n] }[/math]的排列，连续的对某个[math]\displaystyle{ i\in[n] }[/math]应用排列[math]\displaystyle{ \pi }[/math]，[math]\displaystyle{ k }[/math]次之后回到[math]\displaystyle{ i }[/math]，这就是一个长为[math]\displaystyle{ k }[/math]的圈。即

[math]\displaystyle{ \underbrace{\pi\circ\pi\circ\pi\circ\cdots\pi}_{k}(i)=i }[/math]

例如12345的排列42531，有两个cycle，(1435)(2)。

Problem 3

令[math]\displaystyle{ t_n }[/math]表示长度为[math]\displaystyle{ n }[/math]，没有3个连续的1的二进制串的数量，即

[math]\displaystyle{ t_n=|\{x\in\{0,1\}^n\mid \forall 1\le i\le n-2, x_ix_{i+1}x_{i+2}\neq 111\}| }[/math]。

1. 给出计算[math]\displaystyle{ t_n }[/math]的递归式，并给出足够的初始值。
2. 计算[math]\displaystyle{ t_n }[/math]的生成函数[math]\displaystyle{ T(x)=\sum_{n\ge 0}t_n x^n }[/math]，给出[math]\displaystyle{ T(x) }[/math]的闭合形式。
3. 定义[math]\displaystyle{ t_n^* }[/math]为

[math]\displaystyle{ \begin{cases} 0 & n=0,n=1\\ 1 & n=2\\ t_{n-3} & n\ge 3. \end{cases} }[/math]

计算[math]\displaystyle{ t_n^* }[/math]的生成函数[math]\displaystyle{ T^*(x)=\sum_{n\ge 0}t_n^* x^n }[/math]的闭合形式。

([math]\displaystyle{ t^*_n }[/math]通常被称为tribonacci number。)

注意：只需解生成函数的闭合形式，无需展开（否则你会比较痛苦）。