Combinatorics (Fall 2010)/Problem set 5: Difference between revisions

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== Problem 3 ==
== Problem 3 ==
输入为一个无向图 <math>G(V,E)</math>,未必连通,每条边 <math>uv\in E</math> 有一个权重 <math>c_{uv}>0</math>。设计一个算法,找到具有最大总权重的边集 <math>D\subseteq E</math>,使得 <math>G(V,E\setminus D)</math> 和 <math>G(V,E)</math> 具有相同的连通子图个数。

Latest revision as of 09:09, 12 January 2011

Problem 1

最短路径问题(shortest path problem)定义如下:输入为一个 directed graph [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math];图上有两个特别的点:起点 [math]\displaystyle{ s\in V }[/math] 和终点 [math]\displaystyle{ t\in V }[/math]。我们求由 [math]\displaystyle{ s }[/math][math]\displaystyle{ t }[/math] 的最短路径的长度。

  1. 为这个问题写一个整数规划。(提示:一条由s到t的路径可以视为一个 s-t flow。)
  2. 考虑输入图为一个weighted directed graph [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math],每条有向边 [math]\displaystyle{ (i,j)\in E }[/math] 具有一个非负的weight [math]\displaystyle{ w_{ij}\ge 0 }[/math]。路径长度为路径上边的 weight 之和。为这个版本的最短路径问题写一个整数规划。
  3. 证明:对于以上整数规划的线性规划,总存在一个最优解,所有变量的值都是整数(即我们可以通过解LP来求最短路径)。

Problem 2

  1. 为 maximum matching in bipartite graph 写一个线性规划,并证明其为totally unimodular。
  2. 求上述线性规划的 dual 规划,证明其为 minimum vertex cover in bipartite graph。
  3. 证明 König-Egerváry Theorem。

Problem 3

输入为一个无向图 [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math],未必连通,每条边 [math]\displaystyle{ uv\in E }[/math] 有一个权重 [math]\displaystyle{ c_{uv}\gt 0 }[/math]。设计一个算法,找到具有最大总权重的边集 [math]\displaystyle{ D\subseteq E }[/math],使得 [math]\displaystyle{ G(V,E\setminus D) }[/math][math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math] 具有相同的连通子图个数。