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| ==Problem 1 == | | cGxV7X <a href="http://owphehqbyznd.com/">owphehqbyznd</a>, [url=http://otozxmhdlkxp.com/]otozxmhdlkxp[/url], [link=http://qkgoebtvsvxa.com/]qkgoebtvsvxa[/link], http://vigpscqgdfut.com/ |
| (D. E. Knuth)
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| #一万条边的图，最多可以包含多少个三角形（<math>K_3</math> 完全子图）？给出证明。
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| #推广：一个图有 <math>m</math> 条边，最多可以包含多少个 <math>k</math>-clique (<math>k</math> 点完全子图)？（不需要closed form）
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| （提示：一个词——"shadow"）
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| ==Problem 2 ==
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| 我们称一个[http://en.wikipedia.org/wiki/Tournament_(graph_theory) '''竞赛图'''] <math>T([n],E)</math> 是[http://en.wikipedia.org/wiki/Tournament_(graph_theory)#Transitivity 传递(transitive)]的，如果存在一个 <math>[n]</math> 的全排列 <math>\pi</math> 使得 <math>(i,j)\in E</math> 当且仅当 <math>\pi_i<\pi_j</math>，即该竞赛图 <math>T([n],E)</math> 的边的方向符合传递性。
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| 证明：对任何 <math>k\ge 3</math>，存在 <math>N(k)</math>，对任何的 <math>n\ge N(k)</math> 个点的竞赛图，都存在一个 <math>k</math> 个点的子竞赛图满足传递性。
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| ==Problem 3 ==
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| 令 <math>\mathcal{F}\subseteq{[n]\choose k}</math> 为一个 <math>k</math>-regular family，即 <math>\forall i\in[n]</math>，刚好有 <math>k</math> 个不同的 <math>S\in\mathcal{F}</math> 满足 <math>i\in S</math>。
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| 假设 <math>k\ge 10</math>。证明：存在一个对 <math>[n]</math> 的 2着色 <math>f:[n]\rightarrow\{0,1\}</math> 使得 <math>\mathcal{F}</math> 中不存在单色的集合 <math>S\in\mathcal{F}</math>。
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| == 大挑战 (Lovász's simplified version of the Kruskal-Katona theorem)== | |
| 虽然 Kruskal-Katona theorem 很强大，但由于其陈述比较复杂，导致其应用受到很多限制。为此，Lovász 建议如下的简化版本：
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| 对于任意得实数 <math>x</math>，我们可以定义广义二项式系数([http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient#Generalization_and_connection_to_the_binomial_series generalized binomial coefficient]) 如下：
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| :<math>{x\choose k}=\frac{x(x-1)\cdots(x-k+1)}{k!}</math> | |
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| {{Theorem|Theorem (Lovász)|
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| :Let <math>\mathcal{F}\subseteq {X\choose k}</math> with <math>|\mathcal{F}|=m</math>, and suppose that <math>m={x\choose k}</math> for some real number <math>x\ge k</math>. Then
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| ::<math>|\Delta\mathcal{F}|\ge {x\choose k-1}</math>.
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| 证明该定理。
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