Energy cycle and E-P flux

Question1: Energy cycle

在第四章中，我们已经介绍过 LORENZ 能量循环以及各个能量之间的转换项。请根据我们课堂上所介绍的温度和风场的各纬向平均量和扰动量的空间分布，讨论能量转换项< [math]\displaystyle{ P_M }[/math], [math]\displaystyle{ K_M }[/math]>, <[math]\displaystyle{ P_M }[/math], [math]\displaystyle{ P_E }[/math]> 和<[math]\displaystyle{ K_E }[/math], [math]\displaystyle{ K_M }[/math]>将如何随纬度而变化？它们各自对应的能量转换的方向将怎样随纬度变化？并请讨论这些能量转换项的垂直分布情况？

Question2: A generalized E-P flux

在第四章中，我们从准地转近似下的纬向平均风场、温度场的变化方程（预报方程）出发，定义了E-P通量。但是该定义下的E-P通量并没有考虑到大气湿过程的影响。如果从第三章和第五章介绍的水汽方程出发，我们可以按照以下步骤定义出一个反应大气湿过程作用的广义的E-P通量。

1）在准地转近似下，如果我们按照对热力学方程的简化方法，将比湿（specific humidity）[math]\displaystyle{ q }[/math]， 分解成一个标准比湿 [math]\displaystyle{ q_s }[/math]（reference specific humidity）和变化量[math]\displaystyle{ q' }[/math]，并且同样假设[math]\displaystyle{ \partial q /\partial p }[/math]的水平变化很小，请证明在准地转近似下p坐标系下的纬向平均比湿[math]\displaystyle{ [q] }[/math]的变化方程为：

[math]\displaystyle{ \dfrac{\partial [q']}{\partial t} + \dfrac{\partial q_s}{\partial p}[\omega]=-[C-S] -\dfrac{\partial}{\partial y}[v^*q^*] }[/math],

其中[math]\displaystyle{ C-S }[/math]为水汽方程在准地砖近似下的源汇项，表征由大尺度运动所带来的净凝结率。

2）如果重新定义一个非绝热加热项[math]\displaystyle{ Q_m }[/math]，使得[math]\displaystyle{ Q_m=Q-L(C-S) }[/math]，请推导出一个关于[math]\displaystyle{ [\theta+\frac{L}{c_p}q'] }[/math]的变化方程。

3）根据以上推导出的新方程和准地转近似下[math]\displaystyle{ [u] }[/math]的变化方程，请重新定义一个广义的E-P通量[math]\displaystyle{ \mathcal{F}_m }[/math]，使得新的E-P通量中包含了eddy对水汽输送的作用；并且证明，在湿绝热[math]\displaystyle{ (Q_m=0) }[/math]和无摩擦的情况下，平衡状态下的[math]\displaystyle{ \mathcal{F}_m }[/math]满足[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathcal{F}_m=0 }[/math]. 并且根据第五章所介绍的水汽输送的空间分布讨论，在实际大气中，新定义的E-P通量的[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathcal{F}_m }[/math]应该有怎样的变化？

4）请根据新定义出的E-P通量，定义出新的剩余环流(residual circulation, [math]\displaystyle{ [\tilde{v}_m] }[/math], [math]\displaystyle{ [\tilde{\omega}_m] }[/math])，并讨论此时剩余环流的含义是什么？相对于新的剩余环流，新的TEM方程(Transformed Eulerian Mean Equations)应该是什么？同时，也请写出，如果用剩余环流来表述，(1)问中推导出的水汽方程将如何改写，eddy强迫项应变为什么？在实际大气中这一项的作用应为什么？