Combinatorics (Fall 2010)/Problem set 2

Problem 1

8种颜色的小球，每种20只，放到6个盒子里。证明无论怎么放，一定有一个盒子包含两对不同颜色的球。

尝试推广到一般情况（自己设计如何推广）。

提示：用鸽笼原理。

Problem 2

一个图[math]\displaystyle{ G }[/math] 的 independence number [math]\displaystyle{ \alpha(G) }[/math] 为 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中最大的独立集 (independent set) 的大小。证明Turán定理的对偶（dual）版本：

定理

如果图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个结点，[math]\displaystyle{ \frac{nk}{2} }[/math] 条边，[math]\displaystyle{ k\ge 1 }[/math]，则 [math]\displaystyle{ \alpha(G)\ge\frac{n}{k+1} }[/math]。