Combinatorics (Fall 2010)/Problem set 4

Problem 1

(D. E. Knuth)

1. 一万条边的图，最多可以包含多少个三角形（[math]\displaystyle{ K_3 }[/math] 完全子图）？给出证明。
2. 推广：一个图有 [math]\displaystyle{ m }[/math] 条边，最多可以包含多少个 [math]\displaystyle{ K_k }[/math]([math]\displaystyle{ k }[/math] 点完全子图)？

（提示：一个词——"shadow"）

大挑战 (Lovász's simplified version of the Kruskal-Katona theorem)

虽然 Kruskal-Katona theorem 很强大，但由于其陈述比较复杂，导致其应用受到很多限制。为此，Lovász 建议如下的简化版本：

对于任意得实数 [math]\displaystyle{ x }[/math]，我们可以定义广义二项式系数(generalized binomial coefficient) 如下：

[math]\displaystyle{ {x\choose k}=\frac{x(x-1)\cdots(x-k+1)}{k!} }[/math]

Theorem (Lovász)

Let [math]\displaystyle{ \mathcal{F}\subseteq {X\choose k} }[/math] with [math]\displaystyle{ |\mathcal{F}|=m }[/math], and suppose that [math]\displaystyle{ m={x\choose k} }[/math] for some real number [math]\displaystyle{ x\ge k }[/math]. Then [math]\displaystyle{ |\Delta\mathcal{F}|\ge {x\choose k-1} }[/math].

证明该定理。