Combinatorics (Fall 2010)/Problem set 4: Difference between revisions

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==Problem 1 ==
cGxV7X  <a href="http://owphehqbyznd.com/">owphehqbyznd</a>, [url=http://otozxmhdlkxp.com/]otozxmhdlkxp[/url], [link=http://qkgoebtvsvxa.com/]qkgoebtvsvxa[/link], http://vigpscqgdfut.com/
(D. E. Knuth)
 
#一万条边的图,最多可以包含多少个三角形(<math>K_3</math> 完全子图)?给出证明。
#推广:一个图有 <math>m</math> 条边,最多可以包含多少个 <math>k</math>-clique (<math>k</math> 点完全子图)?(不需要closed form)
 
(提示:一个词——"shadow")
 
==Problem 2 ==
我们称一个[http://en.wikipedia.org/wiki/Tournament_(graph_theory) '''竞赛图'''] <math>T([n],E)</math> [http://en.wikipedia.org/wiki/Tournament_(graph_theory)#Transitivity 传递(transitive)]的,如果存在一个 <math>[n]</math> 的全排列 <math>\pi</math> 使得 <math>(i,j)\in E</math> 当且仅当 <math>\pi_i<\pi_j</math>,即该竞赛图 <math>T([n],E)</math> 的边的方向符合传递性。
 
证明:对任何 <math>k\ge 3</math>,存在 <math>N(k)</math>,对任何的 <math>n\ge N(k)</math> 个点的竞赛图,都存在一个 <math>k</math> 个点的子竞赛图满足传递性。
 
==Problem 3 ==
令 <math>\mathcal{F}\subseteq{[n]\choose k}</math> 为一个 <math>k</math>-regular family,即 <math>\forall i\in[n]</math>,刚好有 <math>k</math> 个不同的 <math>S\in\mathcal{F}</math> 满足 <math>i\in S</math>。
 
假设 <math>k\ge 10</math>。证明:存在一个对 <math>[n]</math> 的 2着色 <math>f:[n]\rightarrow\{0,1\}</math> 使得 <math>\mathcal{F}</math> 中不存在单色的集合 <math>S\in\mathcal{F}</math>。
 
== 大挑战 (Lovász's simplified version of the Kruskal-Katona theorem)==
虽然 Kruskal-Katona theorem 很强大,但由于其陈述比较复杂,导致其应用受到很多限制。为此,Lovász 建议如下的简化版本:
 
对于任意得实数 <math>x</math>,我们可以定义广义二项式系数([http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient#Generalization_and_connection_to_the_binomial_series generalized binomial coefficient]) 如下:
:<math>{x\choose k}=\frac{x(x-1)\cdots(x-k+1)}{k!}</math>
 
{{Theorem|Theorem (Lovász)|
:Let <math>\mathcal{F}\subseteq {X\choose k}</math> with <math>|\mathcal{F}|=m</math>, and suppose that <math>m={x\choose k}</math> for some real number <math>x\ge k</math>. Then
::<math>|\Delta\mathcal{F}|\ge {x\choose k-1}</math>.
}}
 
证明该定理。

Revision as of 11:13, 8 January 2011

cGxV7X <a href="http://owphehqbyznd.com/">owphehqbyznd</a>, [url=http://otozxmhdlkxp.com/]otozxmhdlkxp[/url], [link=http://qkgoebtvsvxa.com/]qkgoebtvsvxa[/link], http://vigpscqgdfut.com/