组合数学 (Fall 2019)/Problem Set 2

Under Construction

Problem 1

假设我们班上有n+2个人，其中两个人是DNA完全相同的双胞胎。我们收上n+2份作业后，将这些作业打乱后发回给全班同学，每人一份。要求每个人不可以收到自己那一份作业或者与自己DNA相同的人的作业。令[math]\displaystyle{ T_n }[/math]表示满足这个要求的发回作业的方式，问：

• 计算[math]\displaystyle{ T_n }[/math]是多少；
• 在[math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math]时，随机重排并发回作业后，满足上述要求的概率是多少。

Problem 2

你要设计一个标志，以下形状中的12条等长线段可以分别由红、绿、蓝三色之一构成。要求考虑这个形状的“转动”和“反转”两种对称。

    __
 __|  |__
|__    __|
   |__|

• 定义对称构成的群，可以通过生成元定义，也可以直接把元素都写出来；
• 写出cycle index和pattern inventory；
• 直接写出三种颜色出现的次数一样多的次数。可以借助一些数学软件如Mathematica的帮助。

Problem 3

(All permutation are supposed to have an equal probability of selection).

• What is the probability that the cycle containing 1 has length k?
• What is the expected number of cycles?