概率论与数理统计 (Spring 2024)/Karger's min-cut algorithm

令 [math]\displaystyle{ G(V, E) }[/math] 是一个无向图。我们称边集 [math]\displaystyle{ C\subseteq E }[/math] 是图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的一个割，如果图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在删除所有 [math]\displaystyle{ C }[/math] 中的边后变得不连通。

最小割问题, 也称为全局最小割问题, 定义如下。

全局最小割问题

输入：无向图 [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math]； 输出：图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中具有最小 [math]\displaystyle{ |C| }[/math] 的割 [math]\displaystyle{ C }[/math]。

等价地，该问题要求找到一个将 [math]\displaystyle{ V }[/math] 分成两个不相交非空子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 和 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的划分，使得跨越 [math]\displaystyle{ S }[/math] 和 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的边总数最小。

我们考虑如下更具一般性的情境：输入图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 可以是多重图（multigraph），这意味着任意两个顶点 [math]\displaystyle{ u }[/math] 和 [math]\displaystyle{ v }[/math] 之间可能存在多条平行边（parallel edges）。多重图中的割的定义与之前相同，割 [math]\displaystyle{ C }[/math] 的大小则由 [math]\displaystyle{ C }[/math] 中所有边（包括平行边）的总数给出。等价地，可以将多重图视为带有整数边权重的图，割 [math]\displaystyle{ C }[/math] 的大小表示为 [math]\displaystyle{ C }[/math] 中所有边的总权重。

通过最大流-最小割定理，可以得到这个问题的一个经典的确定性算法。最大流算法可以找到一个最小的[math]\displaystyle{ s }[/math]-[math]\displaystyle{ t }[/math]割, 将由输入任意指定的一个源点 [math]\displaystyle{ s\in V }[/math] 和一个汇点 [math]\displaystyle{ t\in V }[/math] 分割开来。然后可以通过穷举来找到针对任意固定源点 [math]\displaystyle{ s }[/math] 和所有可能的汇点 [math]\displaystyle{ t\neq s }[/math] 的最小 [math]\displaystyle{ s }[/math]-[math]\displaystyle{ t }[/math] 割，从而求得全局最小割。

Karger算法

我们将描述一个简洁优美的随机化算法来解决最小割问题。该算法最初是由David Karger提出的。

给定一个多重图 [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math] 和一条边 [math]\displaystyle{ e\in E }[/math]，我们定义如下的收缩操作 [math]\displaystyle{ \mathsf{Contract}(G,e) }[/math]，将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 更新为一个新的多重图。

收缩算子 [math]\displaystyle{ \mathsf{Contract}(G,e) }[/math]

设 [math]\displaystyle{ e=\{u,v\} }[/math]： 将顶点 [math]\displaystyle{ u,v }[/math] 替换为一个新顶点 [math]\displaystyle{ x }[/math]； 对于图中任何一条连接 [math]\displaystyle{ u,v }[/math] 其中之一到 [math]\displaystyle{ u,v }[/math] 以外某顶点 [math]\displaystyle{ w\in V\setminus\{u,v\} }[/math] 的边（无论是否平行），用一条新边 [math]\displaystyle{ \{x,w\} }[/math] 替换它； 图中剩余的部分保持不变。

换言之，[math]\displaystyle{ \mathsf{Contract}(G,\{u,v\}) }[/math] 将两个顶点 [math]\displaystyle{ u }[/math] 和 [math]\displaystyle{ v }[/math] 合并成一个新顶点 [math]\displaystyle{ x }[/math]，该新顶点邻接的边保留了原始图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中与 [math]\displaystyle{ u,v }[/math] 两顶点之一邻接的边（但不包括二者之间的平行边 [math]\displaystyle{ \{u,v\} }[/math]）。现在我们应该能意识到为什么我们考虑多重图而不是简单图——因为即使我们从没有平行边的简单图开始，收缩操作也可能引入平行边。

收缩操作的效果如图所示：

Karger算法的想法很简单：在每一步中，随机选择当前多重图中的一条边，将其收缩；重复这一操作，直至图中只剩下两个顶点——这两个剩下的顶点之间的所有边的集合，必然是最初图（乃至每一步中的图）中的一个割。

收缩算法 (Karger 1993)

输入: 多重图 [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math]; while [math]\displaystyle{ |V|\gt 2 }[/math] do 从当前图中依均匀分布选择一条随机的边 [math]\displaystyle{ e\in E }[/math]; [math]\displaystyle{ G=\mathsf{Contract}(G,e) }[/math]; return [math]\displaystyle{ C=E }[/math] (即当前所剩的最后两个顶点之间所有的平行边);

另一种看待收缩操作 [math]\displaystyle{ \mathsf{Contract}(G,e) }[/math] 的方式是将其解读为对两个顶点的等价类的合并。假设 [math]\displaystyle{ V={v_1,v_2,\ldots,v_n} }[/math] 是所有顶点的集合。我们从 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个顶点等价类 [math]\displaystyle{ S_1,S_2,\ldots, S_n }[/math] 开始，其中每个等价类 [math]\displaystyle{ S_i={v_i} }[/math] 包含一个顶点。通过调用 [math]\displaystyle{ \mathsf{Contract}(G,e) }[/math]，其中 [math]\displaystyle{ e }[/math] 跨越了两个不同的等价类 [math]\displaystyle{ S_i }[/math] 和 [math]\displaystyle{ S_j }[/math]，其效果是将等价类 [math]\displaystyle{ S_i }[/math] 和 [math]\displaystyle{ S_j }[/math] 合并。收缩后的多重图中的边就是跨越不同顶点等价类之间的边。 这一视角的效果如图所示：

Karger算法的分析

假设输入图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 为一任意给定的多重图。Karger算法输出了该图的一个随机的割。我们需要分析该随机割是最小割的概率，即如下概率的下界：

[math]\displaystyle{ \Pr[\,\text{收缩算法输出了 }G\text{ 的一个最小割}\,] }[/math]

对此，我们证明如下更强的结论。令 [math]\displaystyle{ C }[/math] 是输入图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的某个特定的最小割。我们将分析如下概率的下界：

[math]\displaystyle{ \Pr[\,\text{收缩算法输出了 }C\,] }[/math]

显然这一概率是收缩算法成功输出最小割的概率的下界（在这里我们使用了如下概率法则：对任意事件 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，若 [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math]，则[math]\displaystyle{ \Pr(A)\le \Pr(B) }[/math]）。

我们引入以下记号：

• 令 [math]\displaystyle{ e_1,e_2,\ldots,e_{n-2} }[/math] 表示在运行收缩算法时，依次选中进行收缩的随机边的序列；
• 令 [math]\displaystyle{ G_1=G }[/math] 表示最初输入的多重图。对于 [math]\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n-2 }[/math]，令 [math]\displaystyle{ G_{i+1}=\mathsf{Contract}(G_{i},e_i) }[/math] 表示第 [math]\displaystyle{ i }[/math] 轮收缩后的多重图。

我们可以做出如下的观察：

引理 1

如果 [math]\displaystyle{ C }[/math] 是多重图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的一个最小割，且 [math]\displaystyle{ e\not\in C }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ C }[/math] 在收缩图 [math]\displaystyle{ G'=\mathsf{Contract}(G,e) }[/math] 中仍然是一个最小割。

Proof. 我们首先观察到，收缩永远不会创建新的割：收缩图 [math]\displaystyle{ G' }[/math] 中的每个割也必定是原图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的一个割。 然后我们观察到，原始图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的割 [math]\displaystyle{ C }[/math] 能在收缩图 [math]\displaystyle{ G' }[/math] 中幸存，当且仅当收缩边 [math]\displaystyle{ e\not\in C }[/math]。 这两个观察都很容易通过收缩操作的定义进行验证（特别是在考虑顶点等价类的解释时更容易验证）。 [math]\displaystyle{ \square }[/math]

根据引理1，我们有：

[math]\displaystyle{ \Pr[\,\text{收缩算法输出了 }C\,]=\Pr[\,e_1,e_2,\ldots,e_{n-2}\not\in C\,] }[/math];

再根据链式法则，这一概率可被计算如下：

[math]\displaystyle{ \Pr[\,e_1,e_2,\ldots,e_{n-2}\not\in C\,]=\prod_{i=1}^{n-2}\Pr[\,e_i\not\in C\mid e_1,e_2,\ldots,e_{i-1}\not\in C\,] }[/math]

接下来我们的任务是对每个条件概率 [math]\displaystyle{ \Pr[\,e_i\not\in C\mid e_1,e_2,\ldots,e_{i-1}\not\in C\,] }[/math] 给出下界。注意到：根据引理1，条件 [math]\displaystyle{ e_1,e_2,\ldots,e_{i-1}\not\in C }[/math] 的发生意味着 [math]\displaystyle{ C }[/math] 仍是当前图 [math]\displaystyle{ G_i }[/math] 中的最小割；而 [math]\displaystyle{ e_i }[/math] 是图 [math]\displaystyle{ G_i }[/math] 中的一条均匀分布的随机边。于是条件概率 [math]\displaystyle{ \Pr[\,e_i\not\in C\mid e_1,e_2,\ldots,e_{i-1}\not\in C\,] }[/math] 即为图 [math]\displaystyle{ G_i }[/math] 中一条均匀随机边未命中其某个最小割 [math]\displaystyle{ C }[/math] 的概率。直观上：“最小”割应该在边集中相对稀疏，因此这一概率应该有下界。如下引理严格印证了这一直觉。

引理 2

如果 [math]\displaystyle{ C }[/math] 是多重图 [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math] 中的一个最小割，那么 [math]\displaystyle{ |E|\ge \frac{|V||C|}{2} }[/math]。

Proof. 注意到每个顶点 [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] 的度数必然至少为 [math]\displaystyle{ |C| }[/math]，否则所有与 [math]\displaystyle{ v }[/math] 邻接的边即构成了一个割（将点 [math]\displaystyle{ v }[/math] 与其余所有点分开），而且这个割比 [math]\displaystyle{ |C| }[/math] 更小，这就与 [math]\displaystyle{ C }[/math] 是一个最小割相矛盾。 现在由于每个顶点的度至少为 [math]\displaystyle{ |C| }[/math]，应用握手引理，所有顶点度数之和是 [math]\displaystyle{ 2|E|\ge |V||C| }[/math]。（容易验证握手引理对于多重图仍旧成立。） [math]\displaystyle{ \square }[/math]

令 [math]\displaystyle{ V_i }[/math] 和 [math]\displaystyle{ E_i }[/math] 分别表示多重图 [math]\displaystyle{ G_i }[/math] 的顶点集和边集。注意到 [math]\displaystyle{ |V_{i}|=n-i+1 }[/math]。根据引理2，若 [math]\displaystyle{ C }[/math] 在 [math]\displaystyle{ G_i }[/math] 中仍然是一个最小割，则有 [math]\displaystyle{ |E_i|\ge \frac{(n-i+2)|C|}{2} }[/math]。于是条件概率 [math]\displaystyle{ \Pr[\,e_i\not\in C\mid e_1,e_2,\ldots,e_{i-1}\not\in C\,] }[/math]可被计算如下：

[math]\displaystyle{ \begin{align} \Pr[\,e_i\not\in C\mid e_1,e_2,\ldots,e_{i-1}\not\in C\,] &=1-\frac{|C|}{|E_i|}\\ &\ge 1-\frac{2}{n-i+1} \end{align} }[/math]

将上述分析归总，可得：

[math]\displaystyle{ \begin{align} \Pr[\,\text{收缩算法输出了 }G\text{ 的一个最小割}\,] &\ge \Pr[\,\text{收缩算法输出了 }C\,]\\ &= \Pr[\,e_1,e_2,\ldots,e_{n-2}\not\in C\,]\\ &= \prod_{i=1}^{n-2}\Pr[\,e_i\not\in C\mid e_1,e_2,\ldots,e_{i-1}\not\in C\,]\\ &\ge \prod_{i=1}^{n-2}\left(1-\frac{2}{n-i+1}\right)\\ &= \prod_{k=3}^{n}\frac{k-2}{k}\\ &= \frac{2}{n(n-1)}. \end{align} }[/math]

这证明了如下定理：

定理（收缩算法的正确概率）

对于 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个顶点的任意多重图，收缩算法返回一个最小割的概率至少为 [math]\displaystyle{ \frac{2}{n(n-1)} }[/math]。

初看之下，这一成功概率似乎相当小。然而请注意，一个图中可能存在指数多的割（因为潜在地，每个非空点集 [math]\displaystyle{ S\subset V }[/math] 都可以对应一个将 [math]\displaystyle{ S }[/math] 与其补集分开的割），而Karger算法有效地将这个指数级的解空间事实上缩小到了平方级别。

我们可以独立地运行上述收缩算法 [math]\displaystyle{ t=\left\lceil\frac{n(n-1)\ln n}{2}\right\rceil }[/math] 次，将所有返回的割中最小的一个作为最终结果返回。最终正确得到最小割的概率至少是：

[math]\displaystyle{ \begin{align} &1-\Pr[\,\text{全部 }t\text{ 次独立运行收缩算法都没有找到 }G\text{ 的最小割}\,] \\ = &1-\Pr[\,\text{一次运行收缩算法没有成功输出 }G\text{ 的最小割}\,]^{t} \\ \ge &1- \left(1-\frac{2}{n(n-1)}\right)^{\frac{n(n-1)}{2}\cdot \ln n} \\ \ge &1-\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)^{\ln n}\\ = &1-\frac{1}{n} \end{align} }[/math]

一个概率法推论

上述对Karger算法的分析可以导出如下关于图中最小割数量的推论。

推论（最小割数量上界）

对于 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个顶点的任意多重图 [math]\displaystyle{ G(V,E) }[/math]，[math]\displaystyle{ G }[/math] 中最小割的数量至多为 [math]\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2} }[/math]。

Proof. 首先定义事件 [math]\displaystyle{ A }[/math] 如下 [math]\displaystyle{ A: }[/math] “收缩算法输出了图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的某个最小割”。 并对 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中每一个不同的最小割 [math]\displaystyle{ C }[/math]，定义事件 [math]\displaystyle{ A_C }[/math] 如下 [math]\displaystyle{ A_C: }[/math] “收缩算法输出了 [math]\displaystyle{ C }[/math]”。 容易验证，对于图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的不同最小割 [math]\displaystyle{ C }[/math]，事件 [math]\displaystyle{ A_C }[/math] 彼此不相容；而且，事件 [math]\displaystyle{ A }[/math] 是对所有最小割 [math]\displaystyle{ C }[/math] 事件 [math]\displaystyle{ A_C }[/math] 的并，即 [math]\displaystyle{ A=\bigcup_{G\text{中所有最小割}C}A_C }[/math] 于是根据概率的 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]可加性，有： [math]\displaystyle{ \Pr(A)=\sum_{G\text{中所有最小割}C}\Pr(A_C) }[/math] 由我们对于Karger算法的分析可得，对任何最小割 [math]\displaystyle{ C }[/math]，都有 [math]\displaystyle{ \Pr(A_c)\ge\frac{2}{n(n-1)} }[/math]。而作为良定义的概率，必然有 [math]\displaystyle{ \Pr(A)\le 1 }[/math]。因此可知，图 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中最小割的总数不会超过 [math]\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2} }[/math]。 [math]\displaystyle{ \square }[/math]

上述推论是一个概率法（the probabilistic method）的实例：结论本身不具有任何随机性，但是其证明过程引入了概率论。而且这个结论给出的界是紧的：存在 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个顶点的图 [math]\displaystyle{ G }[/math]，其最小割的个数刚好为 [math]\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2} }[/math]，例如：[math]\displaystyle{ n }[/math] 个顶点的环。