概率论与数理统计 (Spring 2023)/Weierstrass Approximation Theorem
魏尔施特拉斯逼近定理（Weierstrass Approximation Theorem）陈述了：闭区间上的连续函数总可以用多项式一致逼近。
魏尔施特拉斯逼近定理 - 设[math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]为定义在实数区间[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]上的连续实值函数。对每个[math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]，存在一个多项式 [math]\displaystyle{ p }[/math] 使得对于 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] 中所有 [math]\displaystyle{ x }[/math]，均有 [math]\displaystyle{ |p(x)-f(x)|\le \epsilon }[/math]，即
- [math]\displaystyle{ \sup_{x\in[a,b]}\|f(x)-p(x)\|\le \epsilon }[/math]
- 设[math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]为定义在实数区间[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]上的连续实值函数。对每个[math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]，存在一个多项式 [math]\displaystyle{ p }[/math] 使得对于 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] 中所有 [math]\displaystyle{ x }[/math]，均有 [math]\displaystyle{ |p(x)-f(x)|\le \epsilon }[/math]，即