概率论与数理统计 (Spring 2023)/OST and applications
可选停时定理 (OST)
可选停时定理 (Optional Stopping Theorem, OST)，有事也被称为鞅停时定理 (Martingale Stopping Theorem)、可选抽样定理 (Optional Sampling Theorem) 等，是约瑟夫·杜布 (Joseph Doob) 发现的关于鞅的停时的刻画定理。
首先定义鞅 (martingale)。这是一类由公平赌博定义的随机过程。
定义（鞅） - 令 [math]\displaystyle{ \{X_n:n\ge 0\} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \{Y_n:n\ge 0\} }[/math] 为离散时间随机过程（即随机变量序列）。若对于任意 [math]\displaystyle{ n\ge 0 }[/math] 都满足
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[|Y_n|]\lt \infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[\,Y_{n+1}\mid X_0,X_1,\ldots,X_{n}\,\right]=Y_{n} }[/math]，
- 则称随机过程 [math]\displaystyle{ \{Y_n:n\ge 0\} }[/math] 是关于 [math]\displaystyle{ \{X_n:n\ge 0\} }[/math] 的鞅 (martingale)。
- 令 [math]\displaystyle{ \{X_n:n\ge 0\} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \{Y_n:n\ge 0\} }[/math] 为离散时间随机过程（即随机变量序列）。若对于任意 [math]\displaystyle{ n\ge 0 }[/math] 都满足
停时 (stopping time) 的概念如下定义。
定义（停时） - 非负整数值随机变量 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是一个关于离散时间随机过程 [math]\displaystyle{ \{X_n:n\ge 0\} }[/math] 的停时 (stopping time)，若对于任意 [math]\displaystyle{ n\ge 0 }[/math]，事件 [math]\displaystyle{ T=n }[/math] 发生与否都取决于 [math]\displaystyle{ X_0,X_1,\ldots,X_n }[/math] 的取值。
更加严格地讲，随机过程 [math]\displaystyle{ \{X_n:n\ge 0\} }[/math] 可以唯一确定一个 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]域流 (filtration of [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-fields) [math]\displaystyle{ \Sigma_0\subseteq \Sigma_0 \subseteq \cdots }[/math]，使得对于任意 [math]\displaystyle{ n\ge 0 }[/math]，[math]\displaystyle{ \sigma }[/math]域 [math]\displaystyle{ \Sigma_{n+1} }[/math] 都是 [math]\displaystyle{ \Sigma_{n} }[/math] 的一个细化 (refinement)，且 [math]\displaystyle{ \Sigma_n }[/math] 是令随机向量 [math]\displaystyle{ (X_0,X_1,\ldots,X_n) }[/math] 为 [math]\displaystyle{ \Sigma_n }[/math]-可测 ([math]\displaystyle{ \Sigma_n }[/math]-measurable) 的最小 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]代数。则 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是一个关于 [math]\displaystyle{ \{X_n:n\ge 0\} }[/math] 的一个合法的停时，当且仅当对于任意 [math]\displaystyle{ n\ge 0 }[/math]，都有事件 [math]\displaystyle{ \{T=n\}\in\Sigma_n }[/math]，即 [math]\displaystyle{ T=n }[/math] 的发生与否，可以被 [math]\displaystyle{ X_0,X_1,\ldots,X_n }[/math] 的取值所确定。
可选停时定理 (Optional Stopping Theorem, OST) - 一个鞅 [math]\displaystyle{ \{Y_n:n\ge 0\} }[/math] 在停时 [math]\displaystyle{ T }[/math]（鞅和停时都是关于同一个离散时间随机过程 [math]\displaystyle{ \{X_n:n\ge 0\} }[/math] 定义的），总是满足：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_T]=\mathbb{E}[Y_0] }[/math],
- 如果有下列任何条件之一成立：
- (有限时间) 存在有穷的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ T\lt n }[/math] 几乎必然 (a.s.) 发生。
- (有限值域) [math]\displaystyle{ T\lt \infty }[/math] 几乎必然发生，且存在有穷的 [math]\displaystyle{ c }[/math] 使得对于所有 [math]\displaystyle{ t\le T }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ |Y_t|\lt c }[/math] 几乎必然发生。
- (有穷期望时间 + 有限差) [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[T]\lt \infty }[/math]，且存在有穷的 [math]\displaystyle{ c }[/math] 使得对于所有 [math]\displaystyle{ t\le T }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[|Y_{t+1}-Y_t|\mid X_0,\ldots,X_t]\lt c }[/math] 几乎必然发生。
- (一般条件) 同时满足以下三个条件：
- [math]\displaystyle{ T\lt \infty }[/math] 几乎必然发生；
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[|Y_T|]\lt \infty }[/math];
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\mathbb{E}\left[Y_n\cdot I[T\gt n]\right]=0 }[/math]。
- 一个鞅 [math]\displaystyle{ \{Y_n:n\ge 0\} }[/math] 在停时 [math]\displaystyle{ T }[/math]（鞅和停时都是关于同一个离散时间随机过程 [math]\displaystyle{ \{X_n:n\ge 0\} }[/math] 定义的），总是满足：
前三个条件都更强：它们中任何一个都可以推出最后一个一般条件。这使得最后一个一般条件的可选停时定理是最普世的。然而，在具体的问题场景下，往往前三个充分条件更容易保证。
可选停时定理的应用
一维随机游走 (1D random walk)
考虑从0开始的无偏随机游走 (unbiased random walk)：令 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots\in }[/math] 为 [math]\displaystyle{ \{-1,+1\} }[/math] 上独立同分布的均匀随机变量，令 [math]\displaystyle{ Y_t=\sum_{i=1}^tX_i }[/math]。则 [math]\displaystyle{ \{Y_t:t\ge 0\} }[/math] 为随机游走过程。
众所周知该随机游走是一个关于 [math]\displaystyle{ \{X_i:i\ge 1\} }[/math] 的鞅：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_{t+1}\mid X_1,\ldots,X_t]=\mathbb{E}[Y_{t}+X_{t+1}\mid X_1,\ldots,X_t]=\mathbb{E}[Y_{t}\mid X_1,\ldots,X_t]+\mathbb{E}[X_{t+1}\mid X_1,\ldots,X_t]=Y_t+\mathbb{E}[X_{t+1}]=Y_t }[/math]
假设这一随机游走在初次到达 [math]\displaystyle{ -a }[/math] 或者 [math]\displaystyle{ b }[/math] 时会停下，此处 [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z}^+ }[/math] 为两个正整数。
- 吸收 (absorbing) 概率
我们计算随机游走停下时取值 [math]\displaystyle{ b }[/math] (或者取值 [math]\displaystyle{ -a }[/math]) 的概率。由于 [math]\displaystyle{ -a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ b }[/math] 有时被称为随机游走的吸收态 (absorbing states) 或者吸收壁 (absorbing barriers)，因此这一概率也被称为吸收概率。
令 [math]\displaystyle{ T }[/math] 为该随机游走停下的时刻，即：
- [math]\displaystyle{ T=\left\{t\ge 0\mid Y_t=-a\lor Y_t=b\right\}=\left\{t\ge 0\mid \sum_{i=1}^tX_i=-a\lor \sum_{i=1}^tX_i=b\right\} }[/math]
显然 [math]\displaystyle{ T }[/math] 为一个关于 [math]\displaystyle{ \{X_i:i\ge 1\} }[/math] 的良定义的停时。
易验证 [math]\displaystyle{ T\lt \infty }[/math] 几乎必然发生（这是因为假如有 [math]\displaystyle{ a+b }[/math] 个连续的 [math]\displaystyle{ X_i }[/math] 同号，则随机游走必然停止，而这一事件在有穷时间内几乎必然发生）， 而且对于任意 [math]\displaystyle{ t\le T }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ |Y_t|\le \max\{a,b\} }[/math]。
因此，根据可选停时定理（有限值域 条件）有：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_T]=\mathbb{E}[Y_0]=0 }[/math]
另一方面，由于随机变量 [math]\displaystyle{ Y_T\in\{-a,b\} }[/math]，所以有：
- [math]\displaystyle{ 0=\mathbb{E}[Y_T]=-a\cdot \Pr(Y_T=-a)+b\cdot \Pr(Y_T=b)=-a\cdot (1-\Pr(Y_T=b))+b\cdot \Pr(Y_T=b) }[/math]
因此可解出
- [math]\displaystyle{ \Pr(\text{随机游走停止时取值为}b)=\Pr(Y_T=b)=\frac{a}{a+b} }[/math]
- 期望停时
接下来，我们希望计算随机游走的期望停时 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[T] }[/math]。
我们构造如下的随机过程：
- [math]\displaystyle{ Z_t=Y_t^2-t=\left(\sum_{i=1}^tX_i\right)^2-t }[/math]
易验证
- [math]\displaystyle{ Z_{t+1}=Y_{t+1}^2-t-1=(Y_t+X_{t+1})^2-t-1=Y_t^2+2X_{t+1}Y_t+X_{t+1}^2-t-1=Z_t+2X_{t+1}Y_t }[/math]
因此
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Z_{t+1}\mid X_1,\ldots,X_t]=\mathbb{E}[Z_t+2X_{t+1}Y_t\mid X_1,\ldots,X_t]=Z_t+2\mathbb{E}[X_{t+1}]\cdot \mathbb{E}[Y_t\mid X_1,\ldots,X_t]=Z_t }[/math]
因此，[math]\displaystyle{ \{Z_t:t\ge 0\} }[/math] 是关于 [math]\displaystyle{ \{X_i:i\ge 1\} }[/math] 的鞅。
易验证 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[T]\lt \infty }[/math] （只需意识到假如有 [math]\displaystyle{ a+b }[/math] 个连续的 [math]\displaystyle{ X_i }[/math] 同号，则随机游走必然停止，而这一事件发生的期望时间不大于 [math]\displaystyle{ (a+b)2^{a+b-1} }[/math]）， 同时对于任意 [math]\displaystyle{ t\le T }[/math] 都有：
- [math]\displaystyle{ |Z_{t+1}-Z_t|=|2X_{t+1}Y_t|=2|Y_t|\le 2\max\{a,b\} }[/math]。
根据可选停时定理（有穷期望时间+有限差 条件）有：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Z_T]=\mathbb{E}[Z_0]=\mathbb{E}[Y_0^2-0]=0 }[/math]
另一方面，根据 [math]\displaystyle{ Z_t = Y_t^2-t }[/math] 的定义：
- [math]\displaystyle{ 0=\mathbb{E}[Z_T]=\mathbb{E}[Y_T^2-T]=\mathbb{E}[Y_T^2]-\mathbb{E}[T] }[/math]
因此 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[T]=\mathbb{E}[Y_T^2] }[/math]。由于随机变量 [math]\displaystyle{ Y_T\in\{-a,b\} }[/math]，所以期望值 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_T^2] }[/math] 可被计算如下：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_T^2]=a^2\cdot \Pr(Y_T=-a)+b^2\cdot \Pr(Y_T=b)=a^2\cdot \frac{b}{a+b} + b^2\cdot \frac{a}{a+b}=\frac{a^2b+b^2a}{a+b}=ab }[/math]
模式匹配时间
令 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 为均匀分布的随机比特串，即每个 [math]\displaystyle{ X_i\in\{0,1\} }[/math] 是独立的均匀分布的伯努利变量。令 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x}=x_1x_2\cdots x_k\in\{0,1\}^k }[/math] 表示一个长为 [math]\displaystyle{ k }[/math] 比特的模式 (pattern)。令 [math]\displaystyle{ T\ge k }[/math] 表示在随机串中初次成功匹配该模式为其子串的时刻，即：
- [math]\displaystyle{ T=\min\left\{t\ge k\mid (X_{t-k+1},\ldots, X_{t})=x_1\cdots x_k\right\} }[/math]
显然 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是关于随机过程 [math]\displaystyle{ \{X_i:i\ge 1\} }[/math] 的一个良定义的停时。
如此定义的 [math]\displaystyle{ T }[/math] 也被称为模式 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x} }[/math] 的等待时间 (waiting time)。它的期望有如下的闭合形式的公式。
定理 - 对于模式 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x}=x_1x_2\cdots x_k\in\{0,1\}^k }[/math] 的等待时间 [math]\displaystyle{ T }[/math]，有：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[T]=\sum_{j=1}^k\chi_j 2^j }[/math]
- 此处 [math]\displaystyle{ \chi_j }[/math] 指示了模式 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_k)\in\{0,1\}^k }[/math] 的 [math]\displaystyle{ j }[/math]-前缀与 [math]\displaystyle{ j }[/math]-后缀的一致性，即：
- [math]\displaystyle{ \chi_j=\begin{cases}1 & \text{如果 }x_1\cdots x_j=x_{k-j+1}\cdots x_{k}\\ 0 &\text{否则}\end{cases} }[/math]
- 对于模式 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x}=x_1x_2\cdots x_k\in\{0,1\}^k }[/math] 的等待时间 [math]\displaystyle{ T }[/math]，有：
我们将采用可选停时定理 (OST) 来证明这一公式。为此，我们将 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 解读为公平抛硬币的结果，并关于它构造公平赌博游戏 (fair gambling games)，从而定义鞅。
对于每一个整数 [math]\displaystyle{ i\ge 1 }[/math]，我们想象有一个赌徒 (gambler) [math]\displaystyle{ i }[/math]，关于 [math]\displaystyle{ X_iX_{i+1}\cdots X_{i+k-1}=x_1\cdots x_k }[/math] 这件事进行赌博。采用如下的策略：
- 赌徒 [math]\displaystyle{ i }[/math] 的起始资产数为 0。
- （第一轮）赌徒 [math]\displaystyle{ i }[/math] 押注1元钱赌 [math]\displaystyle{ X_i=x_1 }[/math]。
- （第二轮）如果前一轮赌赢，赌徒 [math]\displaystyle{ i }[/math] 押注2元钱赌 [math]\displaystyle{ X_{i+1}=x_2 }[/math]。
- （第三轮）如果前两轮都赌赢，赌徒 [math]\displaystyle{ i }[/math] 押注4元钱赌 [math]\displaystyle{ X_{i+2}=x_3 }[/math]。
- .... ....
- （第 [math]\displaystyle{ k }[/math] 轮）如果前 [math]\displaystyle{ k-1 }[/math] 轮全都赌赢，赌徒 [math]\displaystyle{ i }[/math] 押注 [math]\displaystyle{ 2^{k-1} }[/math] 元钱赌 [math]\displaystyle{ X_{i+k-1}=x_k }[/math]。
- 在上述任何一轮中，如果赌赢，则赌徒会额外获得与所押注数额相等的钱数，并进入下一轮；如果在某一轮中赌输，则失去当前所押的赌注，因此使得总资产变为-1，并停止游戏。
无论输赢与否，赌博游戏在 [math]\displaystyle{ k }[/math] 轮之后都将终止。此时，假如赌徒 [math]\displaystyle{ i }[/math] 从头赢到尾，即事件 [math]\displaystyle{ X_iX_{i+1}\cdots X_{i+k-1}=x_1\cdots x_k }[/math] 发生，则游戏结束时其资产为 [math]\displaystyle{ 2^{k1} }[/math] 元；否则，假如中间某一轮赌输，则从输的那一刻起，该赌徒的资产都将一直为-1。
对于每一个赌徒 [math]\displaystyle{ i\ge 1 }[/math]，令随机过程 [math]\displaystyle{ \{Y^{(i)}_t:t\ge 0\} }[/math] 表示该赌徒在 [math]\displaystyle{ t }[/math] 时刻的资产数额。注意这里的时间 [math]\displaystyle{ t }[/math] 对应于随机过程 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 的时间。因此，[math]\displaystyle{ \{Y^{(i)}_t:t\ge 0\} }[/math] 严格定义如下：
- 当 [math]\displaystyle{ 0\le t\lt i }[/math]：
- [math]\displaystyle{ Y^{(i)}_t=0 }[/math]
- 当 [math]\displaystyle{ i\le t\le i+k-1 }[/math]：
- 如果从原随机串第 [math]\displaystyle{ i }[/math] 位至今为止对模式 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x} }[/math] 的匹配都是成功的，即 [math]\displaystyle{ X_{i}\cdots X_{t}=x_1\cdots x_{t-i+1} }[/math]，则令
- [math]\displaystyle{ Y^{(i)}_t=2^{t-i+1}-1 }[/math]，否则 [math]\displaystyle{ Y^{(i)}_t=-1 }[/math]
- 当 [math]\displaystyle{ t\ge i+k }[/math]：
- 如果从原随机串第 [math]\displaystyle{ i }[/math] 位开始成功匹配模式 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x} }[/math]，即 [math]\displaystyle{ X_{i}X_{i+1}\cdots X_{i+k-1}=x_1\cdots x_{k} }[/math]，则令
- [math]\displaystyle{ Y^{(i)}_t=2^k-1 }[/math]，否则 [math]\displaystyle{ Y^{(i)}_t=-1 }[/math]
事实上，[math]\displaystyle{ Y^{(i)}_t }[/math] 的通项可表示为
- [math]\displaystyle{ Y^{(i)}_t=-1+2^{[t-i+1]^k_0}\cdot I[X_i\cdots X_{\min\{t,i+k-1\}}=x_1\cdots x_{\min\{t-i+1,k\}}] }[/math]
- 其中 [math]\displaystyle{ [x]^k_0=\max\{0,\min\{x,k\}\} }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的上界为 [math]\displaystyle{ k }[/math] 下界为 0 的截断函数。
由于 [math]\displaystyle{ \{Y^{(i)}_t:t\ge 0\} }[/math] 是关于 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 这个公平抛硬币过程进行公平赌博产生的净资产，因此容易验证对于任意赌徒 [math]\displaystyle{ i\ge 1 }[/math]，随机过程 [math]\displaystyle{ \{Y^{(i)}_t:t\ge 0\} }[/math] 都是关于 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 的鞅（此处省略严格验证过程）。
同时，容易验证（此处省略具体证明）：相对于同一随机过程定义的一系列鞅之和，仍然是关于该过程的鞅。因此，
- [math]\displaystyle{ Y_t=\sum_{i=1}^\infty Y^{(i)}_t }[/math]
是关于随机过程 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 的鞅。
还记得停时 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是模式 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x} }[/math] 首次匹配成功的时刻。
- 容易验证 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[T]\le k2^k\lt \infty }[/math]。
- 可以仅考虑被 [math]\displaystyle{ k }[/math] 整除的位置开始的匹配，因此初次匹配的起始时刻 [math]\displaystyle{ T' }[/math] 整除以 [math]\displaystyle{ k }[/math] 后符合参数为 [math]\displaystyle{ 2^{-k} }[/math] 的几何分布，且容易验证该 [math]\displaystyle{ T' }[/math] 随机支配 (stochastically dominates) [math]\displaystyle{ T }[/math]。
- 同时，容易验证如下的有限差性质：对于任意时刻 [math]\displaystyle{ t\ge 0 }[/math]，几乎必然地 [math]\displaystyle{ |Y_{t+1}-Y_t|\le k2^{k-1} }[/math]。
- 注意到尽管 [math]\displaystyle{ Y_t }[/math] 是无穷多个 [math]\displaystyle{ Y^{(i)}_t }[/math] 之和，然而在任意时刻 [math]\displaystyle{ t\ge 0 }[/math]，至多只有不超过 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个不同的 [math]\displaystyle{ Y^{(i)}_t }[/math] 处于改变之中——即正在为期 [math]\displaystyle{ k }[/math] 轮的赌博游戏中，而每轮赌博游戏过后资产改变不超过 [math]\displaystyle{ 2^{k-1} }[/math]。
因此，我们可以应用可选停时定理（有穷期望时间 + 有限差 条件），得到
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_T]=\mathbb{E}[Y_0]=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^\infty Y^{(i)}_0\right]=0 }[/math]
注意到：在时间 [math]\displaystyle{ T }[/math]，即随机串首次成功匹配模式 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x} }[/math] 的时刻，根据上述赌博游戏的定义
- 此时刻有唯一一位赢者赌徒 [math]\displaystyle{ i=T-k+1 }[/math]（即打赌 [math]\displaystyle{ X_{T-k+1}\cdots X_T=x_1\cdots x_k }[/math] 这件事发生的那个赌徒）在 [math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻的资产为 [math]\displaystyle{ Y^{(T-k+1)}_{T}=2^k-1 }[/math]；
- 所有赌徒 [math]\displaystyle{ i\gt T }[/math]，[math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻都尚未进入 [math]\displaystyle{ k }[/math] 轮的赌博游戏，因此在 [math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻的资产均为0；
- 而所有剩余赌徒 [math]\displaystyle{ i\lt T }[/math] 中，仅有一种情况可能在 [math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻的资产不为-1，就是在 [math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻尚在连续猜中的过程之中，而这种情况的赌徒皆一一对应于满足 [math]\displaystyle{ x_1\cdots x_j=x_{k-j+1}\cdots x_{k} }[/math] （即[math]\displaystyle{ \chi_j=1 }[/math]）的 [math]\displaystyle{ 1\le j\lt k }[/math] ——对于每个这样的[math]\displaystyle{ 1\le j\lt k }[/math]，都有一位对应的赌徒 [math]\displaystyle{ i=T-j+1 }[/math] 从 [math]\displaystyle{ i=T-j+1 }[/math] 这一时刻开始进入赌博游戏，连续猜中至 [math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻，其在 [math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻的资产为 [math]\displaystyle{ Y^{(i)}_{T}=2^j-1 }[/math]；
- 所有其余的赌徒 [math]\displaystyle{ i\lt T }[/math]，在 [math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻都已确定赌输，资产都为-1。
不难看出，在 [math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻已确定为输的赌徒总数刚好为 [math]\displaystyle{ T-\sum_{j=1}^k\chi_j }[/math]，即到 [math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻为止已经开始进入赌博游戏的赌徒总数，减去那些截止到 [math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻为止尚在连续赢的过程中的赌徒。
因此，[math]\displaystyle{ T }[/math] 时刻所有赌徒的总资产 [math]\displaystyle{ Y_T }[/math] 可以被如下计算
- [math]\displaystyle{ Y_T =T\text{时刻赢家的总资产}-1\cdot(T\text{时刻输家的数量})= \sum_{j=1}^k\chi_j(2^j-1) -\left(T-\sum_{j=1}^k\chi_j\right) }[/math]
根据之前可选停时定理保证的 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_T]=0 }[/math]，我们有
- [math]\displaystyle{ \begin{align} 0=\mathbb{E}[Y_T] &= \mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^k\chi_j(2^j-1) -\left(T-\sum_{j=1}^k\chi_j\right)\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\sum_{j=1}^k\chi_j\cdot 2^j -T\right]\\ &= \sum_{j=1}^k\chi_j\cdot 2^j -\mathbb{E}\left[T\right] \end{align} }[/math]
这证明了：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[T\right] = \sum_{j=1}^k\chi_j\cdot 2^j }[/math]
极大不等式 (Maximal inequality)
如下定理给出了一个对于鞅的极大不等式。
鞅极大不等式 - 令 [math]\displaystyle{ \{Y_t:t\ge 0\} }[/math] 是关于 [math]\displaystyle{ \{X_t:t\ge 0\} }[/math] 的鞅。如果对于所有 [math]\displaystyle{ t\ge 0 }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ Y_t\ge 0 }[/math] 几乎必然 (a.s.) 发生，则对于任意 [math]\displaystyle{ n\ge 0 }[/math] 与 [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math]，都有
- [math]\displaystyle{ \Pr\left(\max_{t\le n}Y_t \ge a\right)\le\frac{\mathbb{E}[Y_0]}{a} }[/math]
- 令 [math]\displaystyle{ \{Y_t:t\ge 0\} }[/math] 是关于 [math]\displaystyle{ \{X_t:t\ge 0\} }[/math] 的鞅。如果对于所有 [math]\displaystyle{ t\ge 0 }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ Y_t\ge 0 }[/math] 几乎必然 (a.s.) 发生，则对于任意 [math]\displaystyle{ n\ge 0 }[/math] 与 [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math]，都有
该不等式实为杜布鞅不等式 (Doob's martingale inequality) 的一个特例，后者对于取值非负的下鞅 (submartingales) 都成立。
证明的关键想法是构造一个停时 [math]\displaystyle{ T }[/math] 使得事件 [math]\displaystyle{ \max_{t\le n}Y_t \ge a }[/math] 发生当且仅当 [math]\displaystyle{ Y_T \ge a }[/math]。
令 [math]\displaystyle{ T }[/math] 为初次满足 [math]\displaystyle{ Y_T \ge a }[/math] 或 [math]\displaystyle{ T \le n }[/math] 的时间，即：
- [math]\displaystyle{ T=\min{t\mid Y_t\ge a}\cup\{n\} }[/math]
易验证 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是关于 [math]\displaystyle{ \{Y_t:t\ge 0\} }[/math] 的一个停时，因为 [math]\displaystyle{ T=t }[/math] 发生与否仅取决于 [math]\displaystyle{ Y_0,Y_1,\ldots, Y_t }[/math] 的取值。 因此， [math]\displaystyle{ T }[/math] 也必然是关于 [math]\displaystyle{ \{X_t:t\ge 0\} }[/math] 的一个停时，因为 [math]\displaystyle{ Y_t }[/math] 是 [math]\displaystyle{ X_0,X_1,\ldots, X_t }[/math] 的函数。
另外，对于如上构造的停时 [math]\displaystyle{ T }[/math] 容易验证：
- [math]\displaystyle{ \max_{t\le n}Y_t \ge a }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ Y_T \ge a }[/math]
这是因为：如果 [math]\displaystyle{ Y_T \ge a }[/math] 则存在 [math]\displaystyle{ t\le n }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ Y_t \ge a }[/math]；反之如果存在 [math]\displaystyle{ t^*\le n }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ Y_{t^*}=\max_{t\le n}Y_t \ge a }[/math]，则 [math]\displaystyle{ T }[/math] 就是最小的这样的 [math]\displaystyle{ t^*\le n }[/math]。
因为 [math]\displaystyle{ T\le n }[/math] 总是成立，因此根据可选时停定理（有限时间 条件）：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_T]=\mathbb{E}[Y_0] }[/math]
因此，根据马尔可夫不等式：
- [math]\displaystyle{ \Pr\left(\max_{t\le n}Y_t \ge a\right)=\Pr\left(Y_T \ge a\right)\le\frac{\mathbb{E}[Y_T]}{a}=\frac{\mathbb{E}[Y_0]}{a} }[/math]
Wald's equation
Wald's equation（瓦尔德方程?）可以看成是随机个随机变量之和版本的线性期望等式。
Wald's equation - 令 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 为独立同分布的非负随机变量，且具有有穷期望 [math]\displaystyle{ \mu=\mathbb{E}[X_i]\lt \infty }[/math]。如果随机变量 [math]\displaystyle{ N }[/math] 是关于 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 的停时，且满足 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[N]\lt \infty }[/math]，则
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^NX_i\right]= \mathbb{E}[N]\cdot\mu }[/math]
- 令 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 为独立同分布的非负随机变量，且具有有穷期望 [math]\displaystyle{ \mu=\mathbb{E}[X_i]\lt \infty }[/math]。如果随机变量 [math]\displaystyle{ N }[/math] 是关于 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 的停时，且满足 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[N]\lt \infty }[/math]，则
该等式的证明，可采用可选停时定理 (OST)。因此我们构造如下的随机过程：
- [math]\displaystyle{ Y_t=\sum_{i=1}^t(X_i-\mu) }[/math]
容易验证 [math]\displaystyle{ \{Y_t:t\ge 1\} }[/math] 是关于随机过程 [math]\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots }[/math] 的鞅，因为：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_{t+1}\mid X_1,\ldots,X_{t}]=\mathbb{E}[Y_{t}+(X_{t+1}-\mu)\mid X_1,\ldots,X_{t}]=\mathbb{E}[Y_{t}\mid X_1,\ldots,X_{t}]+\mathbb{E}[X_{t+1}-\mu\mid X_1,\ldots,X_{t}]=Y_{t}+\mathbb{E}[X_{t+1}-\mu]=Y_t }[/math]
由于 [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[N]\lt \infty }[/math]，而且 [math]\displaystyle{ X_i }[/math] 作为非负变量，有：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[|Y_{t+1}-Y_t|\mid X_1,\ldots,X_t]=\mathbb{E}[|X_{t+1}-\mu|]\le \mathbb{E}[X_{t+1}+\mu]= 2\mu }[/math]
因此，根据可选停时定理（有穷期望时间 + 有限差 条件），我们有
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_N]=\mathbb{E}[Y_1]=\mathbb{E}[X_1-\mu]=0 }[/math]
另一方面，容易验证：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y_N]=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^N(X_i-\mu)\right]=\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^NX_i\right]-\mathbb{E}[N]\cdot\mu }[/math]
因此，有：
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^NX_i\right]= \mathbb{E}[N]\cdot\mu }[/math]