高级算法 (Spring 2026)/作业1

• 每道题目的解答都要有完整的解题过程，中英文不限。
• 我们推荐大家使用LaTeX, markdown等对作业进行排版。
• 没有条件的同学可以用纸笔完成作业之后拍照。

1. Karp-Rabin Algorithm 使用一个 equality testing 算法作为黑盒子以达成 [math]\displaystyle{ O(m+n) }[/math] 的时间复杂度。分别讨论用本门课中介绍的其他 equality testing 算法替代 Karp-Rabin Algorithm 的 equality testing 算法能否达成 [math]\displaystyle{ O(m+n) }[/math] 的时间复杂度，并自己找到一个没有在本门课中出现的 equality testing 算法（你需要使用正规 citation 指出该算法的来源），尝试用它替换 Karp-Rabin Algorithm 的 equality testing 算法，你需要尽可能完备地说明为什么能或者不可能达成 [math]\displaystyle{ O(m+n) }[/math] 的时间复杂度。
2. 解释 Morris’ counter 背后的直觉。尝试应用 [math]\displaystyle{ (1+\alpha)^{-X} }[/math] 的思路得到更好的结果。