组合数学 (Fall 2017)/Problem Set 2

Problem 1

你要设计一个标志，以下形状中的12条线段可以分别又红、绿、蓝三色之一构成。要求考虑这个形状的“转动”和“反转”两种对称。

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• 定义这个对称构成的群，可以通过生成元定义，也可以直接把元素都写出来；
• 写出cycle index；
• 如果要求三种颜色出现的次数一样多，写出这时的pattern inventory；
• 如果有四种颜色红、绿、蓝、黄，并要求四种颜色出现的次数一样多，写出这时的pattern inventory；

整个过程中可以借助一些数学软件如Mathematica的帮助。

Problem 2

考虑[math]\displaystyle{ n }[/math]颗、共[math]\displaystyle{ m }[/math]种宝石构成的项链。假设[math]\displaystyle{ k\ge1 }[/math]整除[math]\displaystyle{ n }[/math]，我们考虑所有[math]\displaystyle{ k }[/math]整数倍步数的转动。对于一个pattern [math]\displaystyle{ \vec{v}=(n_1,n_2,\ldots,n_m), \sum_{i=1}^m n_i=n }[/math]，令[math]\displaystyle{ a_{\vec{v}} }[/math]为在该对称下、具有这一pattern（第[math]\displaystyle{ i }[/math]种宝石恰好[math]\displaystyle{ n_i }[/math]个，[math]\displaystyle{ i=1,2,\ldots,m }[/math]）的项链种类。

设计一个算法。输入一组[math]\displaystyle{ (m,n,k) }[/math]以及一个pattern [math]\displaystyle{ \vec{v}=(n_1,n_2,\ldots,n_m), \sum_{i=1}^m n_i=n }[/math]，输出[math]\displaystyle{ a_{\vec{v}} }[/math]。

给出你算法使用的permutation group的数学上的定义与构造。给出算法的源代码（鼓励使用Mathematica或者Matlab软件的语言和函数，否则请使用C/C++/Java/Python等通用高级编程语言或脚本语言），并为每一段源代码给出功能上的注释和数学上的严格定义。

选择至少两组输入的[math]\displaystyle{ (m,n,k) }[/math]，给出算法输出的[math]\displaystyle{ a_{\vec{v}} }[/math]值和算法自动生成的pattern inventory。注意输入规模的选择不能小到手动运算都能计算出答案。