组合数学 (Fall 2017)/Problem Set 1: Difference between revisions

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*每道题目的解答都要有<font color="red" size=5>完整的解题过程</font>。中英文不限。
== Problem 1 ==
== Problem 1 ==
#有<math>k</math>种不同的明信片,每种明信片有无限多张,寄给<math>n</math>个人,每人一张,有多少种方法?
#有<math>k</math>种不同的明信片,每种明信片有无限多张,寄给<math>n</math>个人,每人一张,有多少种方法?
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注意:只需解生成函数的闭合形式,无需展开。
注意:只需解生成函数的闭合形式,无需展开。


== Problem 6 ==
== Problem 7 ==
Let <math>a_n</math> be a sequence of numbers satisfying the recurrence relation:
Let <math>a_n</math> be a sequence of numbers satisfying the recurrence relation:
:<math>p a_n+q a_{n-1}+r a_{n-2}=0</math>
:<math>p a_n+q a_{n-1}+r a_{n-2}=0</math>
with initial condition <math>a_0=s</math> and <math>a_1=t</math>, where <math>p,q,r,s,t</math> are constants such that <math>{p}+q+r=0</math>, <math>p\neq 0</math> and <math>s\neq t</math>. Solve the recurrence relation.
with initial condition <math>a_0=s</math> and <math>a_1=t</math>, where <math>p,q,r,s,t</math> are constants such that <math>{p}+q+r=0</math>, <math>p\neq 0</math> and <math>s\neq t</math>. Solve the recurrence relation.

Latest revision as of 13:14, 17 September 2017

  • 每道题目的解答都要有完整的解题过程。中英文不限。

Problem 1

  1. [math]\displaystyle{ k }[/math]种不同的明信片,每种明信片有无限多张,寄给[math]\displaystyle{ n }[/math]个人,每人一张,有多少种方法?
  2. [math]\displaystyle{ k }[/math]种不同的明信片,每种明信片有无限多张,寄给[math]\displaystyle{ n }[/math]个人,每人一张,每个人必须收到不同种类的明信片,有多少种方法?
  3. [math]\displaystyle{ k }[/math]种不同的明信片,每种明信片有无限多张,寄给[math]\displaystyle{ n }[/math]个人,每人收到[math]\displaystyle{ r }[/math]张不同的明信片(但不同的人可以收到相同的明信片),有多少种方法?
  4. 只有一种明信片,共有[math]\displaystyle{ m }[/math]张,寄给[math]\displaystyle{ n }[/math]个人,全部寄完,每个人可以收多张明信片或者不收明信片,有多少种方法?
  5. [math]\displaystyle{ k }[/math]种不同的明信片,其中第[math]\displaystyle{ i }[/math]种明信片有[math]\displaystyle{ m_i }[/math]张,寄给[math]\displaystyle{ n }[/math]个人,全部寄完,每个人可以收多张明信片或者不收明信片,有多少种方法?

Problem 2

Find the number of ways to select [math]\displaystyle{ 2n }[/math] balls from [math]\displaystyle{ n }[/math] identical blue balls, [math]\displaystyle{ n }[/math] identical red balls and [math]\displaystyle{ n }[/math] identical green balls.

  • Give a combinatorial proof for the problem.
  • Give an algebraic proof for the problem.

Problem 3

  • 一个长度为[math]\displaystyle{ n }[/math]的“山峦”是如下由[math]\displaystyle{ n }[/math]个"/"和[math]\displaystyle{ n }[/math]个"\"组成的,从坐标[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math][math]\displaystyle{ (0,2n) }[/math]的折线,但任何时候都不允许低于[math]\displaystyle{ x }[/math]轴。例如下图:
   /\
  /  \/\/\    /\/\
 /        \/\/    \/\/\
 ----------------------
长度为[math]\displaystyle{ n }[/math]的“山峦”有多少?
  • 一个长度为[math]\displaystyle{ n }[/math]的“地貌”是由[math]\displaystyle{ n }[/math]个"/"和[math]\displaystyle{ n }[/math]个"\"组成的,从坐标[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math][math]\displaystyle{ (0,2n) }[/math]的折线,允许低于[math]\displaystyle{ x }[/math]轴。长度为[math]\displaystyle{ n }[/math]的“地貌”有多少?

Problem 4

李雷和韩梅梅竞选学生会主席,韩梅梅获得选票 [math]\displaystyle{ p }[/math] 张,李雷获得选票 [math]\displaystyle{ q }[/math] 张,[math]\displaystyle{ p\gt q }[/math]。我们将总共的 [math]\displaystyle{ p+q }[/math] 张选票一张一张的点数,有多少种选票的排序方式使得在整个点票过程中,韩梅梅的票数一直高于李雷的票数?等价地,假设选票均匀分布的随机排列,以多大概率在整个点票过程中,韩梅梅的票数一直高于李雷的票数。

Problem 5

A [math]\displaystyle{ 2\times n }[/math] rectangle is to be paved with [math]\displaystyle{ 1\times 2 }[/math] identical blocks and [math]\displaystyle{ 2\times 2 }[/math] identical blocks. Let [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] denote the number of ways that can be done. Find a recurrence relation for [math]\displaystyle{ f(n) }[/math], solve the recurrence relation.

Problem 6

  • [math]\displaystyle{ s_n }[/math]表示长度为[math]\displaystyle{ n }[/math],没有2个连续的1的二进制串的数量,即
    [math]\displaystyle{ s_n=|\{x\in\{0,1\}^n\mid \forall 1\le i\le n-1, x_ix_{i+1}\neq 11\}| }[/math]
[math]\displaystyle{ s_n }[/math]
  • [math]\displaystyle{ t_n }[/math]表示长度为[math]\displaystyle{ n }[/math],没有3个连续的1的二进制串的数量,即
    [math]\displaystyle{ t_n=|\{x\in\{0,1\}^n\mid \forall 1\le i\le n-2, x_ix_{i+1}x_{i+2}\neq 111\}| }[/math]
    1. 给出计算[math]\displaystyle{ t_n }[/math]的递归式,并给出足够的初始值。
    2. 计算[math]\displaystyle{ t_n }[/math]的生成函数[math]\displaystyle{ T(x)=\sum_{n\ge 0}t_n x^n }[/math],给出生成函数[math]\displaystyle{ T(x) }[/math]的闭合形式。

注意:只需解生成函数的闭合形式,无需展开。

Problem 7

Let [math]\displaystyle{ a_n }[/math] be a sequence of numbers satisfying the recurrence relation:

[math]\displaystyle{ p a_n+q a_{n-1}+r a_{n-2}=0 }[/math]

with initial condition [math]\displaystyle{ a_0=s }[/math] and [math]\displaystyle{ a_1=t }[/math], where [math]\displaystyle{ p,q,r,s,t }[/math] are constants such that [math]\displaystyle{ {p}+q+r=0 }[/math], [math]\displaystyle{ p\neq 0 }[/math] and [math]\displaystyle{ s\neq t }[/math]. Solve the recurrence relation.