Simple energy balance climate model

在第二章中，我们学习了Budyko的能量平衡气候模型（Simple Energy Balance Climate Model），并用此模型来讨论了存在冰雪线的情况下，气候系统的稳定性问题。冰雪线的南北移动会引起行星反照率及热量的动力输送的变化。我们发现这两种机制的相互作用能够引起气候系统的不稳定性。如果使用同样的参数，即[math]\displaystyle{ A=211.1 W/m^{2}\, }[/math], [math]\displaystyle{ B=1.55 W/(m^{2}{^{\circ}\text{C}}) }[/math], [math]\displaystyle{ T_{\text{snow}}=-10^{\circ}\text{C} }[/math], [math]\displaystyle{ s(x)=1-0.241(3x^2-1)\, }[/math], 并同样假设:

[math]\displaystyle{ \mathcal{A}(T)= \begin{cases} \alpha=0.4 & T\lt T_{\text{snow}},\\ \beta=0.7 & T\gt T_{\text{snow}},\\ \dfrac{\alpha+\beta}{2} & T=T_{\text{snow}}. \end{cases} }[/math]

如果改变行星反照率，使得[math]\displaystyle{ \alpha=0.45 }[/math]， 请讨论：

1. 为了保持全球平均温度[math]\displaystyle{ \bar{T} }[/math]不变，对于当前的[math]\displaystyle{ Q }[/math]和冰雪线, [math]\displaystyle{ \beta }[/math]应该取多少？
2. 对于新的 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]和[math]\displaystyle{ \beta }[/math]值，[math]\displaystyle{ C }[/math]的取值应该为多少？
3. 请计算出新的[math]\displaystyle{ Q(x_s) }[/math].
4. 请与课堂上所讲的[math]\displaystyle{ \alpha=0.4 }[/math], [math]\displaystyle{ \beta=0.7 }[/math]的情况相比较（请将两种情况下[math]\displaystyle{ Q(x_s) }[/math]的曲线画在同一张图上），讨论两种情况的异同，尤其是气候稳定性在[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]和[math]\displaystyle{ \beta }[/math]值改变后发生了何种变化，请讨论为什么会发生这些变化？