组合数学 (Spring 2024)

组合数学
Combinatorics

Instructor
尹一通
Email	yinyt@nju.edu.cn
office	计算机系 804
Class
Class meetings	Wednesday, 2pm-4pm 仙Ⅱ-211
Office hours	TBA 计算机系 804
Textbook
van Lint and Wilson. A course in Combinatorics, 2nd ed., Cambridge Univ Press, 2001.
Jukna. Extremal Combinatorics: With Applications in Computer Science, 2nd ed., Springer, 2011.

This is the webpage for the Combinatorics class of Spring 2024. Students who take this class should check this page periodically for content updates and new announcements.

Announcement

• (2024/03/19) 第一次作业已发布，请在 2024/04/03 上课之前提交到 njucomb24@163.com (文件名为'学号_姓名_A1.pdf').
• (2024/04/10) 第二次作业已发布，请在 2024/04/24 上课之前提交到 njucomb24@163.com (文件名为'学号_姓名_A2.pdf').
• (2024/05/15) 第三次作业已发布，请在 2024/05/29 上课之前提交到 njucomb24@163.com (文件名为'学号_姓名_A3.pdf').

Course info

• Instructor : 尹一通 (homepage)

• email: yinyt@nju.edu.cn
• office: 计算机系 804

• Teaching assistant:
  • 刘弘洋 (liuhongyang@smail.nju.edu.cn)
  • 王淳扬 (wcysai@smail.nju.edu.cn)
• Class meeting: Wednesday, 2pm-4pm, 仙Ⅱ-211.
• Office hour: TBA

• QQ群: 709281027 (加入时需报姓名、专业、学号)

Syllabus

先修课程 Prerequisites

• 离散数学（Discrete Mathematics）
• 线性代数（Linear Algebra）
• 概率论（Probability Theory）

Course materials

• 教材和参考书清单

成绩 Grades

• 课程成绩：本课程将会有若干次作业和一次期末考试。最终成绩将由平时作业成绩 (≥ 60%) 和期末考试成绩 (≤ 40%) 综合得出。
• 迟交：如果有特殊的理由，无法按时完成作业，请提前联系授课老师，给出正当理由。否则迟交的作业将不被接受。

学术诚信 Academic Integrity

学术诚信是所有从事学术活动的学生和学者最基本的职业道德底线，本课程将不遗余力的维护学术诚信规范，违反这一底线的行为将不会被容忍。

作业完成的原则：署你名字的工作必须是你个人的贡献。在完成作业的过程中，允许讨论，前提是讨论的所有参与者均处于同等完成度。但关键想法的执行、以及作业文本的写作必须独立完成，并在作业中致谢（acknowledge）所有参与讨论的人。不允许其他任何形式的合作——尤其是与已经完成作业的同学“讨论”。

本课程将对剽窃行为采取零容忍的态度。在完成作业过程中，对他人工作（出版物、互联网资料、其他人的作业等）直接的文本抄袭和对关键思想、关键元素的抄袭，按照 ACM Policy on Plagiarism的解释，都将视为剽窃。剽窃者成绩将被取消。如果发现互相抄袭行为， 抄袭和被抄袭双方的成绩都将被取消。因此请主动防止自己的作业被他人抄袭。

学术诚信影响学生个人的品行，也关乎整个教育系统的正常运转。为了一点分数而做出学术不端的行为，不仅使自己沦为一个欺骗者，也使他人的诚实努力失去意义。让我们一起努力维护一个诚信的环境。

Assignments

• Problem Set 1 第一次作业提交名单
• Problem Set 2 第二次作业提交名单
• Problem Set 3

Lecture Notes

1. Basic enumeration | 基本计数 (slides)
2. Generating functions | 生成函数 (slides)
3. Sieve methods | 筛法 (slides)
4. Pólya's theory of counting | Pólya计数法 (slides)
5. Cayley's formula | Cayley公式 (slides)
6. Existence problems | 存在性问题 (slides)
7. The probabilistic method | 概率法 (slides)
8. Extremal graph theory | 极值图论 (slides)
9. Extremal set theory | 极值集合论（slides）
   • Old and new proofs of the Erdős–Ko–Rado theorem by Frankl and Graham
   • Improved bounds for the sunflower lemma by Alweiss-Lovet-Wu-Zhang and a simplified proof by Rao
10. Ramsey theory | Ramsey理论（slides）

Resources

• Combinatorics course by Jacob Fox
• Probabilistic Methods in Combinatorics and Graph Theory and Additive Combinatorics by Yufei Zhao
• Combinatorics Lecture Videos online
• Collection of Combinatorics Videos

Concepts

• Binomial coefficient
• The twelvefold way
• Composition of a number
• Multiset
• Combinations with repetition, [math]\displaystyle{ k }[/math]-multisets on a set
• Multinomial coefficients
• Stirling number of the second kind
• Partition of a number
  • Young tableau
• Fibonacci number
• Catalan number
• Generating function and formal power series
• Newton's formula
• The principle of inclusion-exclusion (and more generally the sieve method)
• Möbius inversion formula
• Derangement, and Problème des ménages
• Ryser's formula
• Euler totient function
• Burnside's lemma
  • Group action
  • Orbits
• Pólya enumeration theorem
  • Permutation group
  • Cycle index
• Cayley's formula
  • Prüfer code for trees
  • Kirchhoff's matrix-tree theorem
• Double counting and the handshaking lemma
• Sperner's lemma and Brouwer fixed point theorem
• Pigeonhole principle

• Erdős–Szekeres theorem
• Dirichlet's approximation theorem

• The Probabilistic Method
• Lovász local lemma
• Erdős–Rényi model for random graphs
• Extremal graph theory
• Turán's theorem, Turán graph
• Two analytic inequalities:

• Cauchy–Schwarz inequality
• the inequality of arithmetic and geometric means

• Erdős–Stone theorem (fundamental theorem of extremal graph theory)
• Sunflower lemma and conjecture
• Erdős–Ko–Rado theorem
• Sperner's theorem
  • Sperner system or antichain
• Sauer–Shelah lemma
  • Vapnik–Chervonenkis dimension
• Kruskal–Katona theorem
• Ramsey theory

• Ramsey's theorem
• Happy Ending problem
• Van der Waerden's theorem
• Hales–Jewett theorem

• Hall's theorem (the marriage theorem)

• Birkhoff–Von Neumann theorem

• König-Egerváry theorem
• Dilworth's theorem

• Erdős–Szekeres theorem

• The Max-Flow Min-Cut Theorem

• Menger's theorem
• Maximum flow

• Linear programming
  • Duality
  • Unimodularity
• Matroid